Kezdőlap


Feladat:	F.2443	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bán Rita , Baumgartner Z. , Bóna M. , Bujdosó L. , Csermely Ágnes , Dénes F. , Diczházi Cs. , Fehér P. , Fülöp T. , Füst Ágnes , Gáspár Zsuzsanna , Hegedűs P. , Horváth Ákos , Horváth Béla , Hraskó A. , Ilosvay F. , Ispány Márton , Kánnár J. , Karácsony P. , Kerner Anna , Kovács 111 S. , Kruzslicz Ferenc , Limbek Cs. , Megyesi G. , Mócsy M. , Németh-Buhin Á. , Paál Beatrix , Ribényi Á. , Samu M. , Simon Gy. , Somogyi Á. , Strausz Gy. , Szabó 112 T. , Szabó 741 Z. , Szeier T. , Szigeti Z. , Uhlmann E. , Varga K.
Füzet:	1984/május, 208 - 210. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Beírt kör, Feuerbach-kör, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/november: F.2443

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A feladat első részének megoldásához jelölje $F_{a}$ , $F_{b}$ , $F_{c}$ az $A$ , $B$ , ill. $C$ csúcsból induló szögfelező és az $A B C$ háromszög köré írt kör második metszéspontját. Jelölje $α$ , $β$ , $γ$ a háromszög szögeit (1. ábra).

1. ábra

B F_{a} = O F_{a}

, mert az

O B F_{a}

háromszög

F_{a}

-nál fekvő szöge

γ

(az

A B

íven nyugvó kerületi szög),

O

-nál fekvő szöge pedig az

A B O

háromszög két belső szögének összegével,

\frac{α + β}{2}

-vel egyenlő. Ezek szerint

O B F_{a} ∢ = 180^{\circ} - γ - \frac{α + β}{2} = \frac{α + β}{2}

, vagyis megegyezik a

B O F_{a}

szöggel. Jelölje

T

O B

szakasz felezőpontját,

A_{1}

pedig legyen az

O

pont vetülete a

B C

szakaszon. Ekkor az

O A_{1} C

és az

O T F_{a}

derékszögű háromszögek hasonlóak, hiszen

C

-nél, ill.

F_{a}

-nál

γ / 2

szög van. A megfelelő oldalak arányát felírva:

O T : O A_{1} = O F_{a} : O C

. Szorozzuk mindkét oldalt

2 O A_{1} \cdot O C

-vel, és használjuk fel, hogy

2 O T = O B, O A_{1} = ϱ

, ekkor a következő egyenlőséghez jutunk:

\begin{matrix} O B \cdot O C = 2 ϱ \cdot O F_{a} . \end{matrix}

A feladat első állításának bizonyításához tehát elég belátni, hogy

\begin{matrix} O A \cdot O F_{a} = 2 r ϱ, \end{matrix}

(2)

mert (1) és (2) szorzatából éppen a kívánt egyenlőséget kapjuk.

2. ábra

(2) bizonyításához jelöljük

K

-val az

A B C

háromszög köré írt kör középpontját és

Q

-val

B F_{a}

felezőpontját (2. ábra). A

K F_{a} B

háromszög egyenlő szárú

(K F_{a} = K B = r)

, és a

K

-nál levő szöge

α

, hiszen

B K C ∢ = 2 α

, és

F_{a}

felezi a

B C

ívet, tehát

K F_{a}

felezi a

B K C

szöget.

Q K

szögfelező a

K F_{a} B

háromszögben, tehát

B K Q ∢ = α / 2

. Jelölje most

O

vetületét

A B

-n

C_{1}

. Az

A C_{1} O

derékszögű háromszögben

C_{1} A O ∢ = α / 2

, következésképp ez hasonló a

K Q B

háromszöghöz. A megfelelő oldalak arányát felírva:

O A : B K = O C_{1} : B Q

. Itt

B K = r, O C_{1} = ϱ és B Q = B F_{a} / 2

. Tehát

2 B Q \cdot B K

-val végigszorozva kapjuk, hogy

B F_{a} \cdot O A = 2 r ϱ

. Láttuk, hogy

B F_{a} = O F_{a}

. Ezt beírva éppen (2)-t kapjuk.
A feladat második részének bizonyításához felhasználjuk a számtani és a mértani közép közt fennálló egyenlőtlenséget, továbbá az ismert

2 ϱ \leq r

egyenlőtlenséget (ami pl. (2)-ből is következik, l. a megjegyzést a megoldás után):

\begin{matrix} \frac{O A + O B + O C}{3} \geq \sqrt[3]{O A \cdot O B \cdot O C} = \sqrt[3]{4 ϱ^{2} r} \geq \sqrt[3]{8 ϱ^{3}} = 2 ϱ . \end{matrix}

Egyenlőség akkor áll fenn, ha

O A = O B = O C