Kezdőlap


Feladat:	F.2442	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1984/május, 207 - 208. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Klasszikus valószínűség, Feladat, Többszemélyes véges játékok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/november: F.2442

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Akármilyen négy lapot nevez is meg Gábor, $\frac{4}{32} = \frac{1}{8}$ annak a valószínűsége, hogy a kihúzott lap köztük van, és $\frac{7}{8}$ annak a valószínűsége, hogy nincs köztük. A játékot ennek az észrevételnek alapján két esetre bonthatjuk:

1. A kihúzott lap a Gábor által megnevezett lapok között van.
Ha Gábor négy egyszínű lapot nevezett meg, akkor tudja a lap színét, tehát biztosra mehet és nyer 2 Ft-ot. Ha nem négy egyszínű lapot nevezett meg, akkor nem tudhatja biztosan a kihúzott lap színét, így nyereményének várható értéke is kisebb 2 Ft-nál.

2. A kihúzott lap nincs a megnevezett lapok között, az a többi 28 lap között van. Ez esetben Gábornak olyan színre érdemes tippelnie, amelyből a maradó 28 között a legtöbb van. Egy színből legfeljebb 8 lap van, ezért Gábor legföljebb

\frac{8}{28} = \frac{2}{7}

valószínűséggel találja el a húzott lap színét,

\frac{5}{7}

valószínűséggel nem talál. Várható nyereménye tehát legföljebb

\frac{2}{7} \cdot 2 - \frac{5}{7} \cdot 1 = - \frac{1}{7}

Ft.

Az első eset valószínűsége

1 / 8

, a másodiké

7 / 8

, Gábor várható nyereménye tehát legföljebb

1 / 8 \cdot 2 + 7 / 8 \cdot (- 1 / 7) = 1 / 8

Ft. Ha Gábor négy egyszínű (pl. piros) lapot nevez meg, majd pirosat tippel ha ,,igen'', és pl. zöldet ha ,,nem'' választ kapott, akkor mindkét esetben a lehető legjobban jár. Minden más választásnál vagy az 1. esetben, vagy a 2. esetben, vagy mindkétszer rosszabbul jár. A játék nem igazságos: Gábornak kedvez.

Megjegyzés. A játék még akkor is Gábornak kedvez, ha csak három lapot nevezhet meg. Ha viszont csak két lapot nevezhet meg, akkor a játék már Jánosnak kedvez. Igazságos lesz a játék, ha pl. Gábor nyolc lapot nevezhet meg, de nyereménye jó tipp esetén csak 1 Ft (rossz tipp esetén továbbra is veszít 1 Ft-ot). Érdekes, hogy ha 8 helyett 9 lapot nevezhet meg, Gábor esélye nem nő.