Kezdőlap


Feladat:	F.2441	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Hetyei Judit
Füzet:	1984/április, 158 - 159. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Logikai feladatok, Feladat, Természetes számok, Számhalmazok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/november: F.2441

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek az adott számok növekvő sorrendben $a_{1} < a_{2} < ... < a_{n - 1} < a_{n}$ . Ha $a_{1} = 0$ , akkor az állítás nyilvánvaló: a feltételeknek például $a_{1}$ és $a_{2}$ megfelel. A továbbiakban tegyük fel, hogy $a_{1} > 0$ .
Az $a_{n}$ számhoz bármely másikat kiválasztva a két szám összege biztosan nem szerepel a többi szám közt, mert $a_{n}$ a legnagyobb. Ha valamely $1 \leq i \leq n - 1$ esetén $| a_{n} - a_{i} | = a_{n} - a_{i}$ nem szerepel az $a_{1}$ , $a_{2}$ , $...$ , $a_{i - 1}$ , $...$ , $a_{n - 1}$ közt, akkor készen vagyunk. Ha minden $i$ -hez létezik olyan $1 \leq j \leq n - 1$ , amelyre $a_{n} - a_{i} = a_{j}$ , és $i \neq j$ , akkor $a_{n}$ -et kivéve a többi szám párba állítható úgy, hogy a párok összege éppen $a_{n}$ . Mivel ilyen párba állítás csak akkor lehetséges, ha $n - 1$ páros, a feladat állítását beláttuk azokra az esetekre, mikor $n - 1$ páratlan, azaz amikor $n$ páros. Azokból az esetekből is, mikor $n$ páratlan, csak azok maradtak hátra, melyekben $a_{1}$ , $a_{2}$ , $...$ , $a_{n - 1}$ párokba állítható, vagyis amikor

\begin{matrix} a_{k} + a_{n - k} = a_{n} minden 1 \leq k \leq n - 1 esetén . \end{matrix}

(1)

Vizsgáljuk meg az

a_{n - 1}

és

a_{n - 2}

számokat. Különbségük (1) alapján

\begin{matrix} a_{n - 1} - a_{n - 2} = (a_{n} - a_{1}) - (a_{n} - a_{2}) = a_{2} - a_{1} < a_{2}, \end{matrix}

tehát vagy nem szerepel az adott számok között, vagy éppen

a_{1}

-gyel egyenlő. Ez utóbbi esetben hasonlóan továbbmenve

a_{1} = a_{n - 1} - a_{n - 2} < a_{n - 1} - a_{n - 3} = a_{3} - a_{1} < a_{3}

miatt

a_{n - 1} - a_{n - 3}

vagy nem szerepel a számok között, vagy

a_{n - 1} - a_{n - 3} = a_{2}

. Végül eljutunk

k = \frac{n - 1}{2}

-ig, (

n

páratlan!), amikor is

a_{k - 1} < a_{n - 1} - a_{k} < a_{k + 1}

, adódik, és most akár egyenlő az

a_{n - 1} - a_{k}

különbség

a_{k}

-val, akár különbözik tőle,

a_{n - 1} - a_{k}

biztosan nem szerepel a megmaradt számok között. Így a

k = n - 2

k = n - 3

...

k = \frac{n - 1}{2}

közül valamelyikre

a_{n - 1} - a_{k}

nem szerepel a megmaradt számok között. S mivel

n \geq 4

, azért

k > 1

és így

a_{n - 1} + a_{k} > a_{n - 1} + a_{1} = a_{n}

, azaz a talált számoknak sem összege, sem különbsége nincs a megmaradtak között. Ezzel az állítást páratlan

n

-re is beláttuk.

Megjegyzések. 1.

n = 3

-ra nem igaz az állítás, ezt például az

1

2

3

számhármas mutatja.
2. Nem használtuk ki, hogy az

a_{i}

számok egészek, így a feladat állítása tetszőleges, különböző nem negatív számokból álló szám

n

-esre igaz.