Kezdőlap


Feladat:	F.2436	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Zsigri Gábor
Füzet:	1984/április, 157 - 158. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/október: F.2436

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Emeljünk ki a bal oldalból $\sqrt[]{n}$ -et:

\begin{matrix} \sqrt[]{n} \cdot \sqrt[]{\frac{1}{n} + \sqrt[]{\frac{n}{n^{2}} + \sqrt[]{\frac{n^{2}}{n^{4}} + \sqrt[]{\frac{n^{3}}{n^{8}} + ... + \sqrt[]{\frac{n^{n}}{n^{2^{n}}}}}}}} . \end{matrix}

(2)

A bal oldal második tényezőjében szereplő

1 / n

n / n^{2}

n^{2} / n^{4}

...

n^{n} / n^{2^{n}}

értékek mindannyian egy természetes szám reciprokai, és így biztosan kisebbek

2

-nél. Ez azt jelenti, hogy mindegyik gyökjel alatt

4

-nél kisebb szám áll, tehát (2)-ben a bal oldal biztosan kisebb

2 \sqrt[]{n}

-nél.Így (1) bizonyításához elegendő belátni, hogy

\begin{matrix} 2 \sqrt[]{n} \leq n . \end{matrix}

n \geq 4

esetén így van, ezzel (1)-et minden

3

-nál nagyobb egész számra igazoltuk. A hiányzó

n = 2

és

n = 3

esetekben (1)-et közvetlenül ellenőrizzük:

\begin{matrix} \sqrt[]{1 + \sqrt[]{2 + \sqrt[]{4}}} = \sqrt[]{3} < 2, \end{matrix}

\begin{matrix} \sqrt[]{1 + \sqrt[]{3 + \sqrt[]{9 + \sqrt[]{27}}}} < \sqrt[]{1 + \sqrt[]{5 + \sqrt[]{10 + \sqrt[]{36}}}} = 2 < 3. \end{matrix}

Megjegyzés: A feladat lényegében azonos az F. 2338. feladattal (1982. május, 207. oldal).