A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelöljük -rel a kör sugarát, és legyen egy -t érintő háromszög. Belátjuk, hogy és egyenlőség csak akkor áll fenn, ha az háromszög szabályos. Jelölje az , , szakaszok érintési pontját rendre , , .
Az és háromszögek egybevágóak, hiszen -nél, ill. -nél derékszög van, és . Következésképp , jelöljük ezt a szöget -val. Hasonlóan látható, hogy és , jelöljük e szögeket -val, ill. -val. Az derékszögű háromszögben , amiből következik. Ugyanígy és . Ezeket (1)-be írva végül is azt kell igazolnunk, hogy | | (2) | és egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha . Tudjuk, hogy , amiből , továbbá , és hegyesszög. Be fogjuk látni, hogy ilyen feltételek mellett (2) mindig fennáll és egyenlőség pontosan akkor van, ha . A négyzetes és harmonikus közép közötti összefüggés alapján: | | (3) | és egyenlőség pontosan akkor van, ha . , , nyilván lehetnek egy háromszög szögei, hiszen hegyesszögek és . De ismeretes, hogy egy háromszög , , szögeire és itt egyenlőség pontosan akkor áll, ha , vagyis a háromszög szabályos. Mivel esetünkben , , hegyesszögek, tehát , ez (3)-mal összevetve | | adódik, ami ekvivalens (2)-vel. Egyenlőség akkor áll, ha egyrészt , másrészt ha , tehát (2)-ben is pontosan akkor áll egyenlőség, amikor . Ez esetben az háromszög szabályos, amit bizonyítani kellett. II. megoldás. Jelöljük a kör sugarát -rel, az háromszög oldalait , , -vel, és legyen a szokásos módon . Ekkor a háromszög területe egyrészt , másrészt a Heron-képlet alapján , azaz | | (4) | hiszen . A körnek és az oldalaknak érintési pontjait , , -gyel jelölve , , , és az , , derékszögű háromszögekből a kérdéses kifejezés
(4)-et felhasználva kapjuk, hogy | | A jobb oldali számlálóban a két tényező mindegyike három-három pozitív szám összege. A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget a tényezőkre külön-külön alkalmazva | | vagyis , és egyenlőség csak akkor áll fenn, ha , vagyis ha , a háromszög szabályos. Ezzel a feladat állítását beláttuk.
Megjegyzés. A dolgozatokban sokféle megoldástípus fordult elő, nagy részük nem is volt helyes. A hibás dolgozatok jelentős részében az a helytelen következtetés található, hogy mivel a számtani (ill. négyzetes) és mértani (ill. harmonikus) közepek közti egyenlőtlenségben egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha a számok egyenlők, ezért a számtani (ill. négyzetes) közép minimuma is ekkor van. Másik gyakori hiba, hogy a négyzetösszeget tagonként minimalizálják. Sokszor előfordult az is, hogy a kör helyett az háromszöget rögzítették és keresték azt a pontot, amire minimális.
|