Kezdőlap


Feladat:	F.2428	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1984/március, 107 - 108. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/szeptember: F.2428

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vezessünk be $x + y$ , $z + u$ , valamint $x y = z u$ jelölésére új változókat, mondjuk $x + y = a$ , $z + u = b$ és $x y = z u = c$ . Az (1) ‐ (3) egyenleteket az

\begin{matrix} α^{2} + β^{2} = {(α + β)}^{2} - 2 α β \\ α^{3} + β^{3} = {(α + β)}^{3} - 3 α β (α + β) \end{matrix}

azonosságok felhasználásával a következő alakba írhatjuk át:

\begin{matrix} a + b = 12, & (1') \\ a^{2} + b^{2} - 4 c = 170, & (2') \\ a^{3} + b^{3} - 3 a c - 3 b c = 1764. & (3') \end{matrix}

Szintén a fenti azonosságokat használva (1') alapján

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} = 144 - 2 a b, \\ a^{3} + b^{3} = 1728 - 3 a b \cdot 12. \end{matrix}

Ezeket (2')-be, ill. (3')-be téve és mindjárt átrendezve

\begin{matrix} a b + 2 c = - 13, \\ a b + c = - 1, \end{matrix}

ahonnan

a b = 11

és

c = - 12

. Ha most

x

y

z

és

u

olyan számok, hogy

x y = z u

, továbbá a fent definiált

a

b

c

mennyiségekre

a + b = 12

a b = 11

és

c = - 12

, akkor az (1) ‐ (4) egyenletek teljesülni fognak.
Az

a + b = 12

és

a b = 11

alapján

a

és

b

lehetséges értékei

\begin{matrix} a_{1} = 11 és b_{1} = 1, ill. a_{2} = 1 és b_{2} = 11. \end{matrix}

Ezeket az

x + y = a

x y = - 12

, valamint

z + u = b

z u = - 12

összefüggésekkel összevetve,

x

-re,

y

-ra,

z

-re és

u

-ra a következő nyolc lehetőség adódik:

\begin{matrix} x & 12 & 12 & ‐1 & ‐1 & 4 & 4 & ‐3 & ‐3 \\ y & ‐1 & ‐1 & 12 & 12 & ‐3 & ‐3 & 4 & 4 \\ z & 4 & ‐3 & 4 & ‐3 & 12 & ‐1 & 12 & ‐1 \\ u & ‐3 & 4 & ‐3 & 4 & ‐1 & 12 & ‐1 & 12 \end{matrix}

Előbbi megjegyzésünk értelmében ezek mindegyike megoldás, és csak ezek a megoldások. Ezzel a feladatot megoldottuk.

Megjegyzés. Néhányan feltételezték, hogy a gyökök egészek, és ezek után részben próbálgatással, részben "okoskodással'' jutottak a fenti megoldásokhoz. Mivel ez nem szerepelt a feltételek között, így ezek a dolgozatok hibásnak minősültek.