Jelöljük az $m$ db egyessel felírt számot $M$-mel. Megmutatjuk, hogy nincs $M$-nek olyan pozitív többszöröse, amelyben a számjegyek összege $m$-nél kisebb. Tegyük fel, hogy mégis létezik ilyen többszörös, a legkisebbet jelöljük $T$-vel. $M$-nek a ${10}^m$-nél kisebb többszörösei az $m$ db egyforma számjegyből álló számok. Ezek nyilván nem jók, így $T={10}^m\cdot A+B$ alakban írható, ahol $A>O$ és $0\le B<{10}^m$. Az $L=A+B$ számra $T-L=\left({10}^m-1\right)A=9MA$. Így $L$ is többszöröse $M$-nek, hiszen $M|T$ és $M|T-L$. Az $L$ számjegyeinek összege legfeljebb annyi, mint $T$ jegyeinek összege, hiszen $A+B$ jegyeinek összege nem haladhatja meg $A$ jegyeinek és $B$ jegyeinek összegét. Ez a szokásos összeadási eljárásból következik: ahol nincs átvitel, ott a számjegyösszeg nem változik, míg átvitelnél a számjegyösszeg kilenccel csökken. Ezzel azt kaptuk, hogy $L$ az $M$-nek olyan többszöröse, melyre $L<T$ és $L$ jegyeinek összege $m$-nél kisebb. Ez ellentmond $T$ minimális voltának, amivel az állításunkat bizonyítottuk.