Feladat: F.2422 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bán Rita ,  Csillag P. ,  Danyi P. ,  Erdős 228 L. ,  Hetyei G. ,  Hraskó A. ,  Ilosvay F. ,  Katona Gy. ,  Kovács J. 111 S. ,  Kruzslicz F. ,  Megyesi Gábor ,  Mócsy M. ,  Szederkényi Edit ,  Törőcsik J. ,  Váradi Györgyi 
Füzet: 1983/november, 131. oldal  PDF file
Témakör(ök): Indirekt bizonyítási mód, Oszthatóság, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/május: F.2422

Van-e az m db egyessel leírt 11...1 számnak olyan többszöröse, melyben a számjegyek összege m-nél kisebb?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az m db egyessel felírt számot M-mel. Megmutatjuk, hogy nincs M-nek olyan pozitív többszöröse, amelyben a számjegyek összege m-nél kisebb. Tegyük fel, hogy mégis létezik ilyen többszörös, a legkisebbet jelöljük T-vel. M-nek a 10m-nél kisebb többszörösei az m db egyforma számjegyből álló számok. Ezek nyilván nem jók, így T=10mA+B alakban írható, ahol A>O és 0B<10m. Az L=A+B számra T-L=(10m-1)A=9MA. Így L is többszöröse M-nek, hiszen M|T és M|T-L. Az L számjegyeinek összege legfeljebb annyi, mint T jegyeinek összege, hiszen A+B jegyeinek összege nem haladhatja meg A jegyeinek és B jegyeinek összegét. Ez a szokásos összeadási eljárásból következik: ahol nincs átvitel, ott a számjegyösszeg nem változik, míg átvitelnél a számjegyösszeg kilenccel csökken. Ezzel azt kaptuk, hogy L az M-nek olyan többszöröse, melyre L<T és L jegyeinek összege m-nél kisebb. Ez ellentmond T minimális voltának, amivel az állításunkat bizonyítottuk.

 
 Megyesi Gábor (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., II. o. t.)