|
Feladat: |
F.2418 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bárándi Gy. , Csillag P. , Csonka L. , Erdős 228 L. , Hetyei G. , Hraskó A. , Ispány Márton , Kerner Anna , Kisdi Bálint , Megyesi G. , Patai J. , Réz A. , Váradi Gy. |
Füzet: |
1983/november,
128 - 129. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Feladat, Függvények monotonitása, Trigonometrikus függvények |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1983/április: F.2418 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Elsőként belátjuk, hogy az , , számok egyértelműen meg vannak határozva, majd ezután vizsgáljuk egymáshoz való viszonyukat. Tekintsük a | | függvényeket a [0, 1] intervallumban. Azért itt, mivel a feladat szerint , , pozitív, és minden -re , , , tehát , , csak a [0, 1] intervallumban lehet. A [0, 1]-ben szigorúan monoton nő, a másik három függvény szigorúan monoton csökken. 0-ban kisebb értéket vesz fel, mint a másik három függvény, 1-ben pedig nagyobb értéket, így a függvények folytonossága miatt grafikonjának pontosan egy‐egy metszéspontja van a , , függvények grafikonjával. Ezzel , , létezését és egyértelműségét bizonyítottuk. Pozitív -ekre , így | |
Ez azt jelenti, hogy és grafikonja -tól balra metszi egymást, vagyis hogy . Mivel [0, 1]-ben a függvény monoton csökken, és , azért | | Így és grafikonja -tól jobbra metszi egymást: . Tehát a három szám sorrendje .
Kisdi Bálint (Bp., Piarista Gimn., III. o. t.) |
|