Feladat: F.2418 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bárándi Gy. ,  Csillag P. ,  Csonka L. ,  Erdős 228 L. ,  Hetyei G. ,  Hraskó A. ,  Ispány Márton ,  Kerner Anna ,  Kisdi Bálint ,  Megyesi G. ,  Patai J. ,  Réz A. ,  Váradi Gy. 
Füzet: 1983/november, 128 - 129. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Függvények monotonitása, Trigonometrikus függvények
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/április: F.2418

Az a, b, c pozitív valós számokról tudjuk, hogy
cosa=a,sincosb=b,cossinc=c.
Rendezzük növekvő sorba az a, b, c számokat!

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elsőként belátjuk, hogy az a, b, c számok egyértelműen meg vannak határozva, majd ezután vizsgáljuk egymáshoz való viszonyukat. Tekintsük a

p(x)=x,q(x)=cosx,r(x)=sincosx,s(x)=cossinx
függvényeket a [0, 1] intervallumban. Azért itt, mivel a feladat szerint a, b, c pozitív, és minden x-re q(x)1, r(x)1, s(x)1, tehát a, b, c csak a [0, 1] intervallumban lehet. A [0, 1]-ben p(x) szigorúan monoton nő, a másik három függvény szigorúan monoton csökken. 0-ban p(x) kisebb értéket vesz fel, mint a másik három függvény, 1-ben pedig nagyobb értéket, így a függvények folytonossága miatt p(x) grafikonjának pontosan egy‐egy metszéspontja van a q(x), r(x), s(x) függvények grafikonjával. Ezzel a, b, c létezését és egyértelműségét bizonyítottuk.
 

Pozitív x-ekre sinx<x, így
r(a)=sincosa=sina<a=p(a).

Ez azt jelenti, hogy p(x) és r(x) grafikonja a-tól balra metszi egymást, vagyis hogy b<a. Mivel [0, 1]-ben a cosx függvény monoton csökken, és sina<a, azért
s(a)=cossina>cosa=a=p(a).
Így p(x) és s(x) grafikonja a-tól jobbra metszi egymást: a<c. Tehát a három szám sorrendje b<a<c.
 
 Kisdi Bálint (Bp., Piarista Gimn., III. o. t.)