Kezdőlap


Feladat:	F.2416	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bárándi Gy. , Bartha 562 M. , Böröczky L. , Danyi P. , Dobos Borbála , Erdős 228 L. , Gönczy A. , Hetyei G. , Horváth 713 Z. , Horváth B. , Hraskó A. , Ispány Márton , Kerner Anna , Kovács 829 T. , Kovács J. 111 S. , Kovalcsik I. , Kruzslicz F. , Ladányi L. , Megyesi G. , Mócsy M. , Nyikes P. , Pálos P. , Pásztor L. , Patai J. , Peták T. , Petrovics Györgyi , Prokaj V. , Réz A. , Ribényi Á. , S. Fülöp T. , Simon P. , Szabó 112 T. , Szabó Cs. , Szederkényi Edit , Szeier T. , Szöllősi Gabriella , Törőcsik J. , Váradi Gy. , Varga K. , Zabó T.
Füzet:	1983/november, 127 - 128. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kombinatorikai leszámolási problémák, Számtani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/április: F.2416

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először számoljuk össze azokat a háromszögeket, amelyek leghosszabb oldala $k \leq n$ . Jelölje a háromszögek második legnagyobb oldalának hosszát $l$ , míg a legkisebb oldalét $m$ . Ha $k$ páros, akkor ‐ a háromszög‐egyenlőtlenséget figyelembe véve ‐ $l$ lehetséges értéke $k / 2 + 1$ , $k / 2 + 2$ , $...$ , $k$ , míg $m$ -re az $l$ ezen értékei mellett rendre $2 4, ..., k$ lehetőség adódik. Így a háromszögek száma

\begin{matrix} 2 + 4 + ... + k = \frac{{(k + 1)}^{2}}{4} - \frac{1}{4} . \end{matrix}

k

páratlan, akkor

l

lehetséges értékei

(k + 1) / 2

(k + 3) / 2

...

k

;

m

-et pedig rendre

1, 3, 5, ..., k

-féleképpen választhatjuk. Így a háromszögek száma

\begin{matrix} 1 + 3 + 5 + ... + k = \frac{{(k + 1)}^{2}}{4} . \end{matrix}

Most már meghatározhatjuk, hány legfeljebb

n

oldalhosszú háromszög van. A négyzetszámok negyedét kell összeadnunk 2-től

(n + 1)

-ig, és annyiszor 1/4-et kell levonnunk, ahány páros szám van

n

-ig. A négyzetszámok összegére vonatkozó jól ismert képlet szerint a háromszögek száma tehát

\begin{matrix} \frac{1}{4} (\frac{(n + 1) (n + 2) (2 n + 3)}{6} - 1) - \frac{1}{4} [\frac{n}{2}] . \end{matrix}

Eredményünket más alakban is felírhatjuk: ha

n

páros, akkor az előbbi kifejezés

\begin{matrix} \frac{(n + 1) (n + 2) (2 n + 3) - 6}{24} - \frac{n}{8} = \frac{2 n^{3} + 9 n^{2} + 10 n}{24}, \end{matrix}

míg, ha

n

páratlan, akkor

\begin{matrix} \frac{(n + 1) (n + 2) (2 n + 3) - 6}{24} - \frac{n - 1}{8} = \frac{2 n^{3} + 9 n^{2} + 10 n + 3}{24} . \end{matrix}

Egy képletben összefoglalva, a nem egybevágó háromszögek száma

\begin{matrix} [\frac{2 n^{3} + 9 n^{2} + 10 n + 3}{24}] = [\frac{(n + 1) (n + 3) (2 n + 1)}{24}] . \end{matrix}