Feladat: F.2416 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bárándi Gy. ,  Bartha 562 M. ,  Böröczky L. ,  Danyi P. ,  Dobos Borbála ,  Erdős 228 L. ,  Gönczy A. ,  Hetyei G. ,  Horváth 713 Z. ,  Horváth B. ,  Hraskó A. ,  Ispány Márton ,  Kerner Anna ,  Kovács 829 T. ,  Kovács J. 111 S. ,  Kovalcsik I. ,  Kruzslicz F. ,  Ladányi L. ,  Megyesi G. ,  Mócsy M. ,  Nyikes P. ,  Pálos P. ,  Pásztor L. ,  Patai J. ,  Peták T. ,  Petrovics Györgyi ,  Prokaj V. ,  Réz A. ,  Ribényi Á. ,  S. Fülöp T. ,  Simon P. ,  Szabó 112 T. ,  Szabó Cs. ,  Szederkényi Edit ,  Szeier T. ,  Szöllősi Gabriella ,  Törőcsik J. ,  Váradi Gy. ,  Varga K. ,  Zabó T. 
Füzet: 1983/november, 127 - 128. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kombinatorikai leszámolási problémák, Számtani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/április: F.2416

Hány olyan háromszög van, amelynek oldalai egy adott n-nél nem nagyobb egész számok?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először számoljuk össze azokat a háromszögeket, amelyek leghosszabb oldala kn. Jelölje a háromszögek második legnagyobb oldalának hosszát l, míg a legkisebb oldalét m. Ha k páros, akkor ‐ a háromszög‐egyenlőtlenséget figyelembe véve ‐ l lehetséges értéke k/2+1, k/2+2, ..., k, míg m-re az l ezen értékei mellett rendre 24,...,k lehetőség adódik. Így a háromszögek száma

2+4+...+k=(k+1)24-14.

Ha k páratlan, akkor l lehetséges értékei (k+1)/2, (k+3)/2, ..., k; m-et pedig rendre 1,3,5,...,k-féleképpen választhatjuk. Így a háromszögek száma
1+3+5+...+k=(k+1)24.

Most már meghatározhatjuk, hány legfeljebb n oldalhosszú háromszög van. A négyzetszámok negyedét kell összeadnunk 2-től (n+1)-ig, és annyiszor 1/4-et kell levonnunk, ahány páros szám van n-ig. A négyzetszámok összegére vonatkozó jól ismert képlet szerint a háromszögek száma tehát
14((n+1)(n+2)(2n+3)6-1)-14[n2].

Eredményünket más alakban is felírhatjuk: ha n páros, akkor az előbbi kifejezés
(n+1)(n+2)(2n+3)-624-n8=2n3+9n2+10n24,
míg, ha n páratlan, akkor
(n+1)(n+2)(2n+3)-624-n-18=2n3+9n2+10n+324.

Egy képletben összefoglalva, a nem egybevágó háromszögek száma
[2n3+9n2+10n+324]=[(n+1)(n+3)(2n+1)24].