Feladat: F.2403 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Alexy N. ,  Ambrus L. ,  Balga A. ,  Balog 444 P. ,  Beke S. ,  Bujdosó 419 L. ,  Böröczky L. ,  Csillag P. ,  Danyi P. ,  Erdős 228 L. ,  Fáth G. ,  Fülöp T. ,  Gulyás Éva ,  Hajós Zsuzsanna ,  Hegedűs Andrea ,  Herendi T. ,  Hetyei G. ,  Horváth 290 P. ,  Horváth B. ,  Hraskó A. ,  Ispány Márton ,  Kántor Cs. ,  Kapovits Á. ,  Katona Gy. ,  Kerner Anna ,  Kis 117 A. ,  Kovács 829 T. ,  Kovács I. 111 S. ,  Kovalcsik I. ,  Ladányi L. ,  Lengyel Zs. ,  Megyesi G. ,  Mócsy M. ,  Nyikes P. ,  Pásztor L. ,  Peták T. ,  Scharle A. ,  Simon P. ,  Szabó 112 T. ,  Szabó 741 Z. ,  Szederkényi Edit ,  Szekeres G. ,  Szöllősi Gabriella ,  Tóth G. ,  Törőcsik J. ,  Varga K. ,  Virányi L. ,  Vityi P. 
Füzet: 1983/november, 121 - 122. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenesek egyenlete, Mértani helyek, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/január: F.2403

Egy rombusz három egymás utáni csúcsa rendre rajta van az adott ABCD négyzet AB, BC, ill. CD oldalszakaszán. Mekkora az összes olyan pont által meghatározott idom területe, amelynek mindegyike lehet ilyen rombusz negyedik csúcsa?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a rombusznak az AB, BC, CD oldalszakaszon levő csúcsát rendre P, Q, R betűvel, és legyen még E, F a négyzet BC, AD oldalának felezőpontja. A rombusz K középpontja ‐ mint a PR szakasz felezőpontja az EF szakaszra esik, a kérdéses S negyedik csúcs pedig Q-nak K-ra vonatkozó tükörképe. Következésképp S pontja lesz a BC'B'C téglalapnak, ahol B'C' a BC oldalnak F-re vonatkozó tükörképe; de S nem pontja a BC szakasznak.

 
 

1. ábra
 

 

Az S pontok által befutott halmazt abban a koordináta‐rendszerben írjuk le, amelynek origója E, továbbá F az (1; 0) pont, ennélfogva B koordinátái (0, 1/2). Legyen még S(x,y) a BC'B'C téglalap egy pontja, vagyis teljesüljenek az
0<x2,-1/2y1/2(1)
egyenlőtlenségek. Nézzük meg, milyen további feltételeket kell tennünk x-re és y-ra, hogy S egy megfelelő rombusz negyedik csúcsa lehessen.
Mivel K felezi a QS szakaszt, továbbá rajta van az EF egyenesen, azért Q és K koordinátái szükségképpen
K(x/2,0),Q(0,-y).
Az (1) föltevés miatt így Q a BC szakasz pontja lesz. A rombusz P és R csúcsát a K-ban QS-ra állított merőleges egyenes metszi ki az AB, illetve CD egyenesből, a metszéspontok koordinátái
P(x2-yx,12),R(x2+yx,-12).
Ha S egy megfelelő rombusz negyedik csúcsa, annak további csúcsai csak a most kapott P, Q, R pontok lehetnek. Ezért S(x,y) akkor és csak akkor tartozik hozzá a keresett idomhoz, ha (1) mellett még a
0x2-yx1,0x2+yx1(2)
föltételek is teljesülnek. Így feladatunk az, hogy meghatározzuk annak az idomnak a területét, melyet az (1) és (2) feltételt kielégítő, (x,y) koordinátájú pontok alkotnak.
A (2) egyenlőtlenségeket az (1) szerint pozitív x-szel végigszorozva, majd átrendezve
-x22yx2,-1+(1-x)22y1-(1-x)2.(3)
A (3) egyenlőtlenségek által definiált idomot láthatjuk a 2. ábrán.
 
 

2. ábra
 

 

A görbe vonalak egybevágó parabolaívek. Mivel ez része a BC'B'C téglalapnak, azért ennek és csak ennek a pontjai teljesítik (1)-et és (2)-t is. Következésképp ennek az idomnak a területét kell meghatároznunk.
(3)-ból leolvasható, hogy az idomnak az AC'GF téglalapba eső része egybevágó az EFDC téglalapból hiányzó résszel. Valóban, húzzuk meg az AC'GF téglalapban az AF-fel párhuzamos, AF-től t távolságra levő, 1/2 hosszúságú szakaszt. Idomunk ezt a szakaszt két részre vágja: az alsó
12(1-[1-(1+t)]2)=12(1-t2)
hosszúságú része az idomhoz tartozik, a felső, t2/2 hosszúságú rész már nem. Hasonlóan elvágva az EFDC téglalapot, itt a felső t2/2 hosszúságú rész tartozik az idomhoz, az alsó, (1-t2)/2 hosszúságú rész nem. Következésképp a kérdéses idomnak a két téglalapban található része éppen akkora területű, mint az EFDC téglalap.
Hasonlóan igazolható, hogy az FGB'D és BAFE téglalapokba eső részek együttesen akkora területűek, mint a BAFE téglalap. A keresett idom területe tehát megegyezik az ABCD négyzet területével.