Kezdőlap


Feladat:	F.2398	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1983/október, 55. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Alakzatba írt kör, Beírt alakzatok, Sorozat határértéke, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/január: F.2398

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $n$ -edik körbe egy $2^{n + 1}$ -szöget írunk, ebben egy oldalhoz tartozó középponti szög $\frac{π}{2^{n}}$ .

A szögfelező egyenese merőleges az oldalra, így tehát ‐ amint az ábráról is leolvasható:

\begin{matrix} \frac{R_{n + 1}}{R_{n}} = cos \frac{π}{2^{n + 1}} = \frac{sin π / 2^{n}}{2 sin π / 2^{n + 1}}, \end{matrix}

2 cos α sin α = sin 2 α

összefüggés alapján. Tudjuk, hogy

R_{1} = 1

, tehát

\begin{matrix} R_{n} = \frac{R_{n}}{R_{n - 1}} \cdot \frac{R_{n - 1}}{R_{n - 2}} \cdot \frac{R_{n - 2}}{R_{n - 3}} \cdot ... \cdot \frac{R_{3}}{R_{2}} \cdot \frac{R_{2}}{R_{1}} = \frac{sin π / 2}{2^{n - 1} sin π / 2^{n}} = \frac{2}{π} \cdot \frac{π / 2^{n}}{sin π / 2^{n}} . \end{matrix}

Mivel

{lim}_{n \to \infty}^{} \frac{π}{2^{n}} = 0

, és

{lim}_{x \to 0}^{} \frac{x}{sin x} = 1

, azért

\begin{matrix} {lim}_{n \to \infty}^{} R_{n} = \frac{2}{π} \cdot {lim}_{n \to \infty}^{} \frac{π / 2^{n}}{sin π / 2^{n}} = \frac{2}{π} . \end{matrix}

A keresett határérték tehát

2 / π