A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Jelöljük a -ből és -ból kiinduló magasság talppontját az , ill. lap síkján -vel, ill. -fel. Állítjuk: ha a és magasságok egy pontban metszik egymást, akkor a kiinduló csúcsokat összekötő él merőleges a vele szemben fekvő élre. Ennek az állításnak a bizonyításában ismételten felhasználjuk az egyenes és sík merőlegességének a tartalmát, ti. hogy ilyen kölcsönös helyzet mellett az egyenes merőleges a sík minden egyenesére. Eszerint , mert benne van az síkban és hasonlóan . Így a , metsző egyenespár által meghatározott sík merőlegesen áll a egyenesre, tehát a -beli egyenes is merőleges -re, amint állítottuk. Az itt említett sík csak akkor nem volna egyértelműen meghatározva, ha rajta volna az egyenesen ‐ amit ekkor -mel is, -mel is jelölhetnénk. Ekkor azonban vagy volna azonos -val, és így (az magasság révén) is azonos volna velük, vagy pedig és volna azonos -vel. Az utóbbi változat azonban csak betűzésben különbözik az előbbitől. Mármost, az és pontok egybeesésével eleve azt tennénk fel, hogy merőleges az síkra és benne a -re. Eszerint a kivételes esetben nem marad mit bizonyítani. 2. A feladat föltevése szerint a további és magasságok is metszik -t, ezért az előbbiekben szerepét -nek, majd -nak átadva, azt kapjuk, hogy a vizsgálandó tetraéderen egyszersmind és is teljesül, azaz mind a három közös csúcs nélküli élpár elemei merőlegesen állnak egymásra. 3. Jelöljük mármost -gyel a térnek azt az egyértelműen meghatározott pontját, amelyre | | (1) | Ekkor feladatunk azt bizonyítani, hogy azonos az tetraéder feltételezett magasságpontjával. Elég ehhez azt belátni, hogy merőleges az síkra, vagyis hogy rajta van a magasságvonalon. Ugyanis (1)-ben -vel egyenértékű szerepet tölt be is, is, is, ezért akkor a további magasságvonalakon is rajta lesz, tehát azonos a tetraéder magasságpontjával. Az (1) szerint | | erről külön-külön belátjuk, hogy merőleges a és vektorokra. Ekkor ugyanis merőleges az síkra is.
Kiszámítjuk a skaláris szorzat -szeresét:
Az eredmény , mert , a körülírt gömb sugarai, másrészt a és vektorok előre bizonyított merőlegessége folytán skaláris szorzatuk . Számításunkban szerepét -val fölcserélve adódik. Ezzel a bizonyítást befejeztük. Megjegyzések. 1. Az állítás bal oldalán álló vektornak kivétel nélkül minden tetraéderben van értelme. Érdemes tehát megvizsgálni, mi az vektor végpontjának a jelentése bármely tetraéderre nézve. A válasz: az középpont tükörképe az súlypontra nézve, hiszen | |
2. Nem hiábavaló időnként megemlíteni, hogy -ként itt is elsősorban annak a tömegpontrendszernek a súlypontjára gondolunk, amikor az , , , csúcsokba egyenlő pontszerű tömegeket helyezünk el. Ugyanez érvényes a háromszög, vagyis a "háromcsúcs'' súlypontjára is. Meg lehet azonban mutatni, hogy homogén anyaggal kitöltve a tetraédert, a háromszöget, e fizikai testnek ‐ lapnak ‐ ugyancsak -ben van a súlypontja. 3. Sokan felhasználták, hogy az ilyen ún. ortocentrikus tetraéder esetén a tetraédernek létezik a háromszöghöz hasonlóan Euler-egyenese, azaz , és a tetraéder súlypontja egy egyenesbe esik, továbbá felezi az szakaszt. Az ilyen megoldások azonban csak akkor kaptak pontot, ha feltüntették, hogy hol találták meg a tételt. |