Kezdőlap


Feladat:	F.2382	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Argay Gy. , Árkossy O. , Bán Rita , Beke S. , Birkás Gy. , Bolla J. , Böröczky L. , Csillag P. , Danyi P. , Erdélyi E. , Erdős 228 L. , Fáth G. , Fóris Z. , Gyulánszki Zs. , Gönczy A. , Hegedűs Andrea , Hetyei G. , Horváth 713 Z. , Horváth B. , Ilosvay F. , Juhász 002 Cs. , Kerner Anna , Kocsis 164 Csilla , Kovács 123 L. , Kovács 829 T. , Magyar L. , Magyar P. , Márkus A. , Melis Z. , Nyikes P. , Pelles T. , Peták T. , Selyem I. , Simon P. , Szabó 741 Z. , Szabó T. , Szmola P. , Törőcsik J. , Vindics I. , Zsigri G.
Füzet:	1983/április, 149 - 150. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Négyzetszámok összege, Konstruktív megoldási módszer, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/október: F.2382

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Először belátjuk, hogy tetszőleges $s ≧ 9$ páratlan négyzetszámhoz van olyan $t > s$ négyzetszám, melyre $t + s$ páratlan négyzetszám. Ugyanis $s = {(2 k + 1)}^{2}$ , ahol $k$ pozitív egész, és a $t = {(2 k^{2} + 2 k)}^{2}$ választással $t + s = {(2 k^{2} + 2 k + 1)}^{2}, t > s$ és $t + s$ páratlan, ahogyan kívántuk.
A fentiek alapján könnyen megadhatunk egy, a feladat feltételeit kielégítő $t_{1}$ , $t_{2}$ , $...$ sorozatot. Legyen $t_{1} = 3^{2}$ . Ha $t_{n}$ -et már feltételeinknek megfelelően definiáltuk, legyen $t_{n + 1}$ az $s = \sum_{j = 1}^{n} t_{j}^{2}$ páratlan négyzetszámhoz a bevezetőben konstruált $t$ négyzetszám. Nyilván az így kapott sorozat megfelelő, és a $t > s$ feltétel biztosítja, hogy a sorozat tagjai különbözők.

Törőcsik Jenő (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.)
dolgozata alapján

II. megoldás. Explicit módon is megadható egy a feladat feltételeit kielégítő sorozat. Legyen

\begin{matrix} a_{1} = 5^{2}, a_{2 k} = 17^{2 k - 2} \cdot 12^{2}, a_{2 k + 1} = 17^{2 k - 2} \cdot 84^{2} (k ≧ 1) . \end{matrix}

Teljes indukcióval belátható, hogy az első

(2 n + 1)

tag összege

17^{2 n} \cdot 5^{2} (n ≧ 0)

és az első

2 n

tag összege

17^{2 n - 2} \cdot 13^{2} (n ≧ 1)

. Az is nyilvánvaló, hogy a sorozat különböző számokból áll.

Peták Tamás (Szolnok, Verseghy F. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. Egy feltűnően sok helyen előforduló hiányosság volt, hogy a dolgozatok a sorozat elemeinek különbözőségéről elfeledkeztek. Végül

3

pontot kapott az, aki tényleg csak "elszajkózta'' a papír alján, hogy "tehát létezik különböző négyzetszámokból

...

''; ám ha valaki a különbözőségre külön kitért, ha nem is igazolta a monotonitást, az megkapta a

4

pontot. A feldolgozó azért pontozott így, mert a monotonitás lényegében triviális, bizonyítása nem okozhat gondot annak, aki a feladatot egyébként megoldotta. Azt értékelte, a versenyző gondolkodásában benne volt-e, hogy a különbözőség vizsgálata hozzá tartozik a megoldáshoz. Tehát

4

pontos a helyes megoldást tartalmazó dolgozat, amely "érdemben'' kitér a különbözőségre.

3

pontos a helyes megoldás kis hiánnyal, ez legalább

90 %

-ban a különbözőség meg nem említése, emiatt nagyon sokan vesztettek pontot. 1‐2 pont az olyan dolgozat, amely inkább csak azt demonstrálja, hogy a beküldőnek megvolt az az ötlete, amivel a feladat megoldható, de annak leírása messze nem teljes.

0

pont a hibás vagy értékelhető eredményt nem tartalmazó dolgozat.