Feladat: F.2382 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Argay Gy. ,  Árkossy O. ,  Bán Rita ,  Beke S. ,  Birkás Gy. ,  Bolla J. ,  Böröczky L. ,  Csillag P. ,  Danyi P. ,  Erdélyi E. ,  Erdős 228 L. ,  Fáth G. ,  Fóris Z. ,  Gyulánszki Zs. ,  Gönczy A. ,  Hegedűs Andrea ,  Hetyei G. ,  Horváth 713 Z. ,  Horváth B. ,  Ilosvay F. ,  Juhász 002 Cs. ,  Kerner Anna ,  Kocsis 164 Csilla ,  Kovács 123 L. ,  Kovács 829 T. ,  Magyar L. ,  Magyar P. ,  Márkus A. ,  Melis Z. ,  Nyikes P. ,  Pelles T. ,  Peták T. ,  Selyem I. ,  Simon P. ,  Szabó 741 Z. ,  Szabó T. ,  Szmola P. ,  Törőcsik J. ,  Vindics I. ,  Zsigri G. 
Füzet: 1983/április, 149 - 150. oldal  PDF file
Témakör(ök): Négyzetszámok összege, Konstruktív megoldási módszer, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/október: F.2382

Van-e olyan különböző négyzetszámokból álló végtelen sorozat, hogy minden n-re a sorozat első n tagjának összege is négyzetszám ?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Először belátjuk, hogy tetszőleges s9 páratlan négyzetszámhoz van olyan t>s négyzetszám, melyre t+s páratlan négyzetszám. Ugyanis s=(2k+1)2, ahol k pozitív egész, és a t=(2k2+2k)2 választással t+s=(2k2+2k+1)2,t>s és t+s páratlan, ahogyan kívántuk.
A fentiek alapján könnyen megadhatunk egy, a feladat feltételeit kielégítő t1, t2, ... sorozatot. Legyen t1=32. Ha tn-et már feltételeinknek megfelelően definiáltuk, legyen tn+1 az s=j=1ntj2 páratlan négyzetszámhoz a bevezetőben konstruált t négyzetszám. Nyilván az így kapott sorozat megfelelő, és a t>s feltétel biztosítja, hogy a sorozat tagjai különbözők.

 

Törőcsik Jenő (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.)
dolgozata alapján

 

II. megoldás. Explicit módon is megadható egy a feladat feltételeit kielégítő sorozat. Legyen
a1=52,a2k=172k-2122,a2k+1=172k-2842(k1).
Teljes indukcióval belátható, hogy az első (2n+1) tag összege 172n52(n0) és az első 2n tag összege 172n-2132(n1). Az is nyilvánvaló, hogy a sorozat különböző számokból áll.
 

Peták Tamás (Szolnok, Verseghy F. Gimn., IV. o. t.)

 

Megjegyzés. Egy feltűnően sok helyen előforduló hiányosság volt, hogy a dolgozatok a sorozat elemeinek különbözőségéről elfeledkeztek. Végül 3 pontot kapott az, aki tényleg csak "elszajkózta'' a papír alján, hogy "tehát létezik különböző négyzetszámokból ...''; ám ha valaki a különbözőségre külön kitért, ha nem is igazolta a monotonitást, az megkapta a 4 pontot. A feldolgozó azért pontozott így, mert a monotonitás lényegében triviális, bizonyítása nem okozhat gondot annak, aki a feladatot egyébként megoldotta. Azt értékelte, a versenyző gondolkodásában benne volt-e, hogy a különbözőség vizsgálata hozzá tartozik a megoldáshoz. Tehát 4 pontos a helyes megoldást tartalmazó dolgozat, amely "érdemben'' kitér a különbözőségre. 3 pontos a helyes megoldás kis hiánnyal, ez legalább 90%-ban a különbözőség meg nem említése, emiatt nagyon sokan vesztettek pontot. 1‐2 pont az olyan dolgozat, amely inkább csak azt demonstrálja, hogy a beküldőnek megvolt az az ötlete, amivel a feladat megoldható, de annak leírása messze nem teljes. 0 pont a hibás vagy értékelhető eredményt nem tartalmazó dolgozat.