A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük a , és szakasz felezőpontját rendre betűvel, a , és egyenesek közös pontját pedig ‐ mint már a 2365. feladatban ‐ -vel. Az állítást az ábráinkon látható felvételek esetére azzal bizonyítjuk, hogy az szakasznak -ből vett látószöge egyenlő az -ből vett látószögével. Más felvételen előfordulhat, hogy és az egyenes két különböző partján van, ilyenkor a két látószög -ra egészíti ki egymást, ami lényegében ugyanúgy bizonyítható. Természetesen külön tárgyaljuk majd a hatszög olyan helyzeteit, amelyekben nem jön létre. Látni fogjuk, hogy ilyenkor a felezőpontok egy egyenesre esnek, tehát ugyanekkor a szóban forgó kör sem jön létre, illetve elfajul ,,végtelen sugarúvá". 1. ábra 1. A bizonyításba bevonjuk azt a három pontot is, amelyet hatszögünk szemben levő oldalegyenes párjai határoznak meg, legyen a , oldalpár metszéspontja , a , páré , a páré . (Más szóval a közös irányú 3‐3 oldalegyenes által meghatározott mind a 9 pontnak szerepe van az alakzatban.) Azt a 3 téglalapot használjuk fel, amelyeknek a csúcsai váltakozva és típusú pontok. Egyik ilyen a , ebben a kérdéses pont a átlót is felezi. Ugyanígy felezi a szakaszt, a -t, ennélfogva az háromszög a háromszög középháromszöge, tehát szögeik páronként rendre egyenlők. Vegyük a -n átmenő és -vel párhuzamos félegyenest. Ezzel az látószöget két részre osztjuk (1. ábra), ill. ugyanazon oldalán fekvő két szög különbségeként állíthatjuk elő (2. ábra). A részek rendre egyenlők az említett téglalapokban az -vel párhuzamos oldal és az átló közti szöggel:
ennélfogva mindkét felvétel esetében | | ezt akartuk bizonyítani, és ezzel azt is bebizonyítottuk, amit kellett. 2. ábra 2. Ha nem jön létre, ez azt jelenti, hogy a felhasznált téglalapok hasonlóak, (mert egyeznek az átlóknak az oldalakkal alkotott szögei.) Így , , a és háromszögeket meghatározó pontok egy egyenesbe esnek (3. ábra). 3. ábra Ez a 2365. feladat I. megoldása (4) összefüggésének megfelelője. Megjegyzések. 1. Visszatekintve a 2365. feladatra, látjuk, hogy itt fel kellett használnunk a merőlegességet a 3‐3 oldalegyenes között ‐ a téglalapok szögeinek egyenlőségében. Eszerint a feladat állítása ferdén hajló egyeneshármasok esetében nem érvényes. 2. Egy dolgozat azzal az ellenpéldával vélte bizonyítani a feladat állításának ,,valótlanságát", amely a 3. ábrából jön létre, amikor bármelyik két szomszédos párhuzamos között ugyanakkora a távolság. A beküldő ‐ sajnos ‐ még eléggé távol áll a matematikai gondolkodástól. Nem azt akarjuk ezzel mondani, hogy nem szabad megnézni különlegesen egyszerű helyzeteket, hanem azt, hogy nem szabad ezek után megállni. Keresni kell, hogy mi igaz a kitűzésből a szó legszorosabb értelmében, továbbá hogy mit jelentenek az elfajulások. 3. Ha rögzítjük az ponthármast, vagyis a -hármast is, a kör változatlan marad. A kör bármely pontját -nek választva, megkapható az őt előállító -ponthatos: a szelők metszik ki őket párosával a átmérőjű körökből. |