Feladat: F.2357 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Ákosfai Z. ,  Alberti G. ,  Almássy T. ,  Balázs Z. ,  Borsó Zs. ,  Csörgő T. ,  Dobrosi D. ,  Drávucz Katalin ,  Engländer J. ,  Erdős L. ,  Fóris Z. ,  Frei Zs. ,  Fritz P. ,  Hegedüs Andrea ,  Hetyei G. ,  Holbok I. ,  Horváth A. ,  Jánosi I. ,  Kálmán Ágnes ,  Kántor Cs. ,  Kapovits Á. ,  Katona Gy. ,  Kiss S. ,  Kő Andrea ,  Komorowicz J. ,  Kovács Judit ,  Kovács L. ,  Ladányi L. ,  Lehoczky I. ,  Lengyel Zs. ,  Magyar Á. ,  Mohay T. ,  Nagy R. ,  Náray M. ,  Németh Á. ,  Nyikes P. ,  Pap Éva ,  Papp G. ,  Peták T. ,  Sigray I. ,  Somlói J. ,  Szállási Z. ,  Szederkényi Edit ,  Szekeres G. ,  Szemők Á. ,  Tóth G. ,  Tranta Beáta ,  Törőcsik J. ,  Ván P. ,  Wágner P. ,  Ziegler B. ,  Zubor Z. 
Füzet: 1982/október, 64 - 65. oldal  PDF file
Témakör(ök): Valós számok és tulajdonságaik, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/március: F.2357

Az a, b, c, d, e, f, g nem-negatív számok összege 1. Válasszuk ki az a+b+c,  b+c+d,  c+d+e,  d+e+f,  e+f+g összegek közül a legnagyobbat. Mennyi az így kapott érték minimuma?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel

(a+b+c)+(c+d+e)+(e+f+g)==a+b+c+d+e+f+g)+c+e1,


azért az a+b+c, c+d+e, e+f+g számok közül valamelyik legalább 1/3. Így a megadott 5 háromtagú összeg közül a legnagyobb értéke minden esetben legalább 1/3.
Másrészt az a=d=g=1/3, b=c=e=f=0 értékek esetén a háromtagú összegek mindegyike 1/3. Következésképp a kérdezett minimum 1/3.
 

Megjegyzés. Hasonlóan igazolható az alábbi állítás is. Ha az a1, a2, ..., an nem‐negatív számok összege 1, akkor az (ai+1+ai+2+...+ai+k) összegek (i=0,1,...,n-k) maximumának minimuma 1+[n-1k] reciproka.