Feladat:	F.2351	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1982/november, 117 - 118. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Feladat, Teljes indukció módszere
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/február: F.2351

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle x_1=a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\text{...}+a_{1n}{x}_n}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle x_2=a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\text{...}+a_{2n}{x}_n}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle ⋮}\hfill & \text{(<mn>1</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle x_n=a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\text{...}+a_{nn}{x}_n}\hfill \end{array}}$ Az állítás $n=1$-re igaz: ha $x_1=a_{11}{x}_1$ és $a_{11}$ páros, akkor $x_1$ szükségképpen $0$. Most tegyük fel, hogy a feladat állítását már tudjuk $\left(n-1\right)$-re, és küszöböljük ki a fenti (1) egyenletrendszerből $x_n$-et a következőképpen. (1) utolsó egyenlete alapján $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(1-a_{nn}\right)x_n=a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\text{...}+a_{n\mathrm{,}n-1}{x}_{n-1}\mathrm{.}}\end{array}$ (2) Szorozzuk meg (1) többi egyenletét $\left(1-a_{nn}\right)$-nel, és $\left(1-a_{nn}\right)x_n$ helyébe írjuk be (2) jobb oldalát. Az $i$-edik egyenlet, ahol $1\leqq i\leqq n-1$, így alakul: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(1-a_{nn}\right)x_i=\left(1-a_{nn}\right)a_{i1}{x}_1+\left(1-a_{nn}\right)a_{i2}{x}_2+\text{...}+\left(1-a_{nn}\right)a_{i\mathrm{,}n-1}{x}_{n-1}+a_{in}{a}_{n1}{x}_1+}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle +a_{in}{a}_{n2}{x}_2+\text{...}+a_{in}{a}_{n\mathrm{,}n-1}{x}_{n-1}\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis átrendezve ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle x_1=b_{11}{x}_1+b_{12}{x}_2+\text{...}+b_{\mathrm{1,}n-1}{x}_{n-1}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle x_2=b_{21}{x}_1+b_{22}{x}_2+\text{...}+b_{\mathrm{2,}n-1}{x}_{n-1}\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>3</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle ⋮}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle x_{n-1}=b_{n-\mathrm{1,1}}{x}_1+b_{n-\mathrm{1,2}}{x}_2+\text{...}+b_{n-\mathrm{1,}n-1}{x}_{n-1}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ ahol $b_{ii}=\left(1-a_{nn}\right)a_{ij}+a_{in}{a}_{ni}+a_{nn}$, valamint $i\ne j$ esetén $\begin{array}{c}{\displaystyle b_{ij}=\left(1-a_{nn}\right)a_{ij}+a_{in}{a}_{nj}\mathrm{.}}\end{array}$ Látható, hogy a (3)-ban szereplő $b_{ij}$ együtthatók mind páros egész számok, tehát feltevésünk alapján (3)-nak csak az $x_1=x_2=\text{...}=x_{n-1}=0$ megoldása van. S mivel ha (1) teljesül, akkor teljesül (3) is, azért (1) összes $x_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{x}_n$ megoldására $x_1=x_2=\text{...}=x_{n-1}=0$. Ekkor (1) utolsó egyenletéből $x_n=a_{nn}{x}_n$, ahonnan $x_n$ értéke is szükségképpen $0$. A feladat állítását $n=1$-re ellenőriztük, továbbá igazoltuk, hogy ha az igaz $\left(n-1\right)$-re, akkor igaz $n$-re is. Így a teljes indukció elve alapján az állítást minden pozitív egész $n$-re bizonyítottuk.   Megjegyzés. Többen észrevették, hogy (1) egy ún. homogén lineáris egyenletrendszer, melynek akkor és csak akkor nincs az $x_1=x_2=\text{...}=x_n=0$-tól különböző megoldása, ha az egyenletrendszer determinánsa, azaz nem nulla. Ezt egyeseknek sikerült bebizonyítani, míg voltak olyanok, akik szerint ez "nyilvánvaló''. Az, hogy a determináns értéke nem nulla, következik például abból, hogy páratlan egész szám az értéke.