Kezdőlap


Feladat:	F.2350	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Katona Gyula
Füzet:	1982/november, 117. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Indirekt bizonyítási mód, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/február: F.2350

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy nem igaz a feladat állítása, vagyis nem mindegyik $a_{i}$ pozitív. Keressük ki a legkisebb $a_{i}$ -t, vagy ha ez nem volna egyértelmű, a legkisebb $a_{i}$ -k közül a legkisebb indexűt. Legyen ez mondjuk a $k$ -adik szám. Feltevésünk szerint $a_{k}$ nem lehet pozitív, emiatt $1 < k < 100$ , hiszen $a_{1}$ és $a_{100}$ pozitívak. Ugyanakkor $k$ megválasztása miatt $a_{k - 1} > a_{k}$ és $a_{k + 1} ≧ a_{k}$ , tehát

\begin{matrix} a_{k - 1} + a_{k + 1} > 2 a_{k}, \end{matrix}

vagyis a feltétel nem teljesül

i = k

-ra. Ellentmondásra jutottunk, ezzel beláttuk a feladat állítását.

Katona Gyula (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)