Feladat: F.2348 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Alberti G. ,  Almássy T. ,  Danyi P. ,  Drávucz Katalin ,  Engländer J. ,  Erdős 228 L. ,  Fekete Zs. ,  Fóris Z. ,  Fülöp T. ,  Harmat Zs. ,  Hegedüs Andrea ,  Hetyei G. ,  Holbok I. ,  Ittzés A. ,  Kántor Cs. ,  Károlyi Gy. ,  Kovács 123 L. ,  Légrádi Cs. ,  Magyar Á. ,  Máray T. ,  Megyesi G. ,  Miskolczi L. ,  Mohay T. ,  Nádor P. ,  Nagy 548 R. ,  Paál P. ,  Papp 193 G. ,  Raffai Zs. ,  Sefcsik F. ,  Sigray I. ,  Somlói J. ,  Szabó 555 L. ,  Szabó Cs. ,  Szállási Z. ,  Szederkényi Edit ,  Tóth 360 G. ,  Tranta Beáta ,  Törőcsik J. 
Füzet: 1982/október, 59 - 60. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Euler-egyenes, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/január: F.2348

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Abból a követelményből, hogy az ABC háromszög M magasságpontja belső pont legyen az A1B1C1 középháromszögben, korlátozást kapunk a szögek nagyságára. Állapodjunk meg úgy a jelölésekben, hogy a szögek kölcsönös nagyságviszonyára teljesüljön

γ≥β≥α.(1)

A követelményt átfogalmazzuk a háromszög körülírt köre O középpontjának bevonásával. Felhasználjuk, hogy az Euler‐egyenes szerint O az M-nek (-1/2) arányban kicsinyített képe az S súlypontra mint centrumra nézve, másrészt, hogy az A1B1C1 háromszög ugyanígy keletkezik az ABC háromszögből. Vagyis hogy O az A1B1C1 háromszög magasságpontja. Eszerint O-nak benne kell lennie az A1B1C1 háromszöghöz tartozó A2B2C2 középháromszögben ‐ ami pedig az ABC háromszögnek 1/4 arányú kicsinyített képe. Ez azt is jelenti, hogy O az ABC háromszögben is benne van, vagyis csak hegyesszögű háromszögekről lehet szó, γ<90∘.

Megvizsgáljuk annak feltételét, hogy O az A2B2 és A1B1 egyenesek közti sáv belsejében legyen. Szükséges, hogy O-nak AB fölötti magasságára teljesüljön OC1>m/4, azaz
m<4⋅OC1=4rcosγ,
ahol m az AB oldalhoz tartozó magasság és r a körülírt kör sugara. Ekkor
m=αsinβ=2rsinαsinβ=r(cos(β-α)-cos(β+α))=r(cos(β-α)+cosγ),
és ezt beírva, kellő átrendezés után
cos(β-α)<3cosγ(2)β-α>arccos(3cosγ).


(A jobb oldal tulajdonképpen radiánban értendő, de fokra átszámítva fogjuk felhasználni.)
Másrészt O nem eshet az A1B1 középvonal egyenese fölé, hiszen akkor M az AB egyenes alá esne, a háromszögön kívülre és a háromszög csak tompaszögű lehetne.
Eddig nem használtuk fel, hogy γ a háromszög legnagyobbik szöge; tehát meggondolásunk az A2B2C2 háromszög mindegyik oldalára biztosítja, hogy O benne legyen az illető sávban, akkor pedig magában az A2B2C2 háromszögben is benne lesz.
II. Mostantól azt is figyelembe vesszük, hogy az α, β, γ mértékszámok egész számok.
A (2) egyenlőtlenség csak akkor jelent valódi korlátozást, ha 3cosγ<1, azaz γ>70,53∘.
γ=71∘ mellett β-α>12,4∘,azazβ-α≥13∘ésβ+γ=109∘;
innen β≥61∘ és β≤γ figyelembevételével β-ra 11 értéket kapunk (β=61∘, 62∘, ..., 71∘), egyben 11 háromszög‐alakot. A folytatást táblázatosan közöljük.
 


γ= β-α> β-α≥ β-α=      β= alakok száma72∘  22∘,02  23∘ 108∘    66∘,67∘,...,72∘  773∘  28∘,70  29∘ 107∘    68∘,69∘,...,73∘  674∘  34∘,21  35∘ 106∘    71∘,...,...74∘  475∘  39∘,06  40∘ 105∘    73∘,...,...75∘  376∘  43∘,46  44∘ 104∘    74∘,...,...76∘  377∘  47∘,55  48∘ 103∘    76∘,77∘...,77∘  278∘  51∘,41  52∘ 102∘    77∘,78∘...,77∘  279∘  55∘,08  56∘ 101∘    79∘...,77∘  1
 

A γ=80∘, 81∘, ..., 89∘ értékekre 3cosγ tovább is monoton csökken, ezért β-α alsó korlátja tovább monoton nő, emiatt már mindig csak β=γ lehetséges. Ebből a vizsgálatból 11+28+10=49 megfelelő háromszögalakot kaptunk.
A hátralevő 60∘≤γ≤70∘ esetekben α legkisebb értéke 180∘-2γ, legnagyobb értéke [180∘-γ2], hiszen α≤β; ezek szerint megválasztott γ mellett α lehetséges értékeinek, egyben a háromszög alakoknak a száma:
[90-γ2]-(179-2γ)=γ+[γ2]-89.
hiszen minden közbeeső egész szám lehet α értéke.
Ezek összege, a páros és páratlan eseteket különválasztva (1+4+7+10++13+16)+(2+5+8+11+14)=3⋅17+5⋅8=91.
Mindezek szerint a kérdéses háromszög alakok száma 140.
 

Megjegyzés. Többen a legkisebb szög értéke szerint fogták egy‐egy csoportba az alakokat, ami 60 vizsgálatot jelentett, méghozzá az α=1∘, 3∘, 5∘, ..., 21∘, 23∘ csoportokban nincs is megfelelő alak.