Feladat: F.2348 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Alberti G. ,  Almássy T. ,  Danyi P. ,  Drávucz Katalin ,  Engländer J. ,  Erdős 228 L. ,  Fekete Zs. ,  Fóris Z. ,  Fülöp T. ,  Harmat Zs. ,  Hegedüs Andrea ,  Hetyei G. ,  Holbok I. ,  Ittzés A. ,  Kántor Cs. ,  Károlyi Gy. ,  Kovács 123 L. ,  Légrádi Cs. ,  Magyar Á. ,  Máray T. ,  Megyesi G. ,  Miskolczi L. ,  Mohay T. ,  Nádor P. ,  Nagy 548 R. ,  Paál P. ,  Papp 193 G. ,  Raffai Zs. ,  Sefcsik F. ,  Sigray I. ,  Somlói J. ,  Szabó 555 L. ,  Szabó Cs. ,  Szállási Z. ,  Szederkényi Edit ,  Tóth 360 G. ,  Tranta Beáta ,  Törőcsik J. 
Füzet: 1982/október, 59 - 60. oldal  PDF file
Témakör(ök): Euler-egyenes, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/január: F.2348

Hány olyan háromszög‐alak van, amelyben a szögek fokokban vett mértékszámai egész számok, és a háromszög magasságpontja benne van az oldalfelező pontok által meghatározott háromszög belsejében?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Abból a követelményből, hogy az ABC háromszög M magasságpontja belső pont legyen az A1B1C1 középháromszögben, korlátozást kapunk a szögek nagyságára. Állapodjunk meg úgy a jelölésekben, hogy a szögek kölcsönös nagyságviszonyára teljesüljön

γβα.(1)

A követelményt átfogalmazzuk a háromszög körülírt köre O középpontjának bevonásával. Felhasználjuk, hogy az Euler‐egyenes szerint O az M-nek (-1/2) arányban kicsinyített képe az S súlypontra mint centrumra nézve, másrészt, hogy az A1B1C1 háromszög ugyanígy keletkezik az ABC háromszögből. Vagyis hogy O az A1B1C1 háromszög magasságpontja. Eszerint O-nak benne kell lennie az A1B1C1 háromszöghöz tartozó A2B2C2 középháromszögben ‐ ami pedig az ABC háromszögnek 1/4 arányú kicsinyített képe. Ez azt is jelenti, hogy O az ABC háromszögben is benne van, vagyis csak hegyesszögű háromszögekről lehet szó, γ<90.

Megvizsgáljuk annak feltételét, hogy O az A2B2 és A1B1 egyenesek közti sáv belsejében legyen. Szükséges, hogy O-nak AB fölötti magasságára teljesüljön OC1>m/4, azaz
m<4OC1=4rcosγ,
ahol m az AB oldalhoz tartozó magasság és r a körülírt kör sugara. Ekkor
m=αsinβ=2rsinαsinβ=r(cos(β-α)-cos(β+α))=r(cos(β-α)+cosγ),
és ezt beírva, kellő átrendezés után
cos(β-α)<3cosγ(2)β-α>arccos(3cosγ).


(A jobb oldal tulajdonképpen radiánban értendő, de fokra átszámítva fogjuk felhasználni.)
Másrészt O nem eshet az A1B1 középvonal egyenese fölé, hiszen akkor M az AB egyenes alá esne, a háromszögön kívülre és a háromszög csak tompaszögű lehetne.
Eddig nem használtuk fel, hogy γ a háromszög legnagyobbik szöge; tehát meggondolásunk az A2B2C2 háromszög mindegyik oldalára biztosítja, hogy O benne legyen az illető sávban, akkor pedig magában az A2B2C2 háromszögben is benne lesz.
II. Mostantól azt is figyelembe vesszük, hogy az α, β, γ mértékszámok egész számok.
A (2) egyenlőtlenség csak akkor jelent valódi korlátozást, ha 3cosγ<1, azaz γ>70,53.
γ=71 mellett β-α>12,4,azazβ-α13ésβ+γ=109;
innen β61 és βγ figyelembevételével β-ra 11 értéket kapunk (β=61, 62, ..., 71), egyben 11 háromszög‐alakot. A folytatást táblázatosan közöljük.
 


γ= β-α> β-α β-α=      β= alakok száma72  22,02  23 108    66,67,...,72  773  28,70  29 107    68,69,...,73  674  34,21  35 106    71,...,...74  475  39,06  40 105    73,...,...75  376  43,46  44 104    74,...,...76  377  47,55  48 103    76,77...,77  278  51,41  52 102    77,78...,77  279  55,08  56 101    79...,77  1
 

A γ=80, 81, ..., 89 értékekre 3cosγ tovább is monoton csökken, ezért β-α alsó korlátja tovább monoton nő, emiatt már mindig csak β=γ lehetséges. Ebből a vizsgálatból 11+28+10=49 megfelelő háromszögalakot kaptunk.
A hátralevő 60γ70 esetekben α legkisebb értéke 180-2γ, legnagyobb értéke [180-γ2], hiszen αβ; ezek szerint megválasztott γ mellett α lehetséges értékeinek, egyben a háromszög alakoknak a száma:
[90-γ2]-(179-2γ)=γ+[γ2]-89.
hiszen minden közbeeső egész szám lehet α értéke.
Ezek összege, a páros és páratlan eseteket különválasztva (1+4+7+10++13+16)+(2+5+8+11+14)=317+58=91.
Mindezek szerint a kérdéses háromszög alakok száma 140.
 

Megjegyzés. Többen a legkisebb szög értéke szerint fogták egy‐egy csoportba az alakokat, ami 60 vizsgálatot jelentett, méghozzá az α=1, 3, 5, ..., 21, 23 csoportokban nincs is megfelelő alak.