Kezdőlap


Feladat:	F.2344	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1982/október, 56. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hatványösszeg, Számtani sorozat, Feladat, Algebrai átalakítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/január: F.2344

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a bal oldal értékét $b_{n}$ -nel, a jobb oldalét pedig $j_{n}$ -nel: Mivel $b_{1} = 2 = j_{1}$ , elegendő megmutatnunk, hogy $j_{k} - j_{k - 1} = b_{k} - b_{k - 1}$ . Valóban, ha ezt már tudjuk, akkor

\begin{matrix} b_{n} = (b_{n} - b_{n - 1}) + (b_{n - 1} - b_{n - 2}) + ... + (b_{2} - b_{1}) + b_{1} = \\ = (j_{n} - j_{n - 1}) + (j_{n - 1} - j_{n - 2}) + ... + (j_{2} - j_{1}) + j_{1} = j_{n} . \end{matrix}

Világos, hogy

j_{k} - j_{k - 1} = k^{5} + k^{7}

. Másrészt

1 + 2 + ... + k = k (k + 1) / 2

alapján

\begin{matrix} b_{k} - b_{k - 1} = 2 {(\frac{k (k + 1)}{2})}^{4} - 2 {(\frac{(k - 1) k}{2})}^{4} = \frac{k^{4}}{8} ({(k + 1)}^{4} - {(k - 1)}^{4}) . \end{matrix}

Használjuk most fel az

a^{4} - b^{4} = (a^{2} - b^{2}) (a^{2} + b^{2}) = (a - b) (a + b) (a^{2} + b^{2})

azonosságot:

\begin{matrix} b_{k} - b_{k - 1} = \frac{k^{4}}{8} \cdot 2 \cdot 2 k \cdot (2 k^{2} + 2) = k^{5} (k^{2} + 1) = k^{5} + k^{7} = j_{k} - k_{k - 1}, \end{matrix}

és ezt akartuk bizonyítani.

Megjegyzés. Igazolható, hogy

\begin{matrix} 1^{5} + 2^{5} + ... + n^{5} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2} (2 n^{2} + 2 n - 1)}{12}, \end{matrix}

valamint

\begin{matrix} 1^{7} + 2^{7} + ... + n^{7} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2} (3 n^{4} + 6 n^{3} - n^{2} - 4 n + 2)}{24} . \end{matrix}

Ezek alapján a bizonyítandó állítás azonnal adódik.