Kezdőlap


Feladat:	F.2342	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1982/május, 210 - 211. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat, Koszinusztétel alkalmazása
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/december: F.2342

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A háromszögben szokásos jelölésekkel

\begin{matrix} cos α = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} = \frac{(a^{2} + b^{2} + c^{2}) - 2 a^{2}}{2 b c} = \frac{a (a^{2} + b^{2} + c^{2})}{2 a b c} - \frac{a^{3}}{a b c} . \end{matrix}

cos β

-ra és

cos γ

-ra fölírt hasonló kifejezésekkel

\begin{matrix} cos α + cos β + cos γ = \frac{(a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2})}{2 a b c} - \frac{(a^{3} + b^{3} + c^{3})}{a b c} . \end{matrix}

(1)

A jobb oldalon az

a

b

c

oldalaknak ún. szimmetrikus kifejezéseit látjuk. (Szimmetrikusnak mondunk egy kifejezést, ha a benne szereplő változók sorrendjét tetszés szerint megváltoztatva, a kifejezés változatlan marad.)
Mivel

a

b

és

c

az adott egyenlet gyökei, behelyettesítésükkel teljesülnek:

\begin{matrix} a^{3} - {p a}^{2} + q a - r = 0, \\ b^{3} - {p b}^{2} - q b - r = 0, \\ c^{3} - {p c}^{2} + q c - r = 0, \end{matrix}

tehát összeadással, átrendezéssel

\begin{matrix} a^{3} + b^{3} + c^{3} = p (a^{2} + b^{2} + c^{2}) - q (a + b + c) + 3 r . \end{matrix}

(2)

Másrészt azt is tudjuk, hogy egyetlen olyan harmadfokú egyenlet van, amelynek az

a

b

c

számok a gyökei és a harmadfokú tag együtthatója

(+ 1)

, éspedig a következő:

\begin{matrix} (x - a) (x - b) (x - c) = 0, \end{matrix}

kifejtve

\begin{matrix} x^{3} - (a + b + c) x^{2} + (a b + a c + b c) x - a b c = 0. \end{matrix}

Eszerint a föltevéssel ekvivalens, hogy

\begin{matrix} a + b + c & = p, \\ a b c & = r, \\ a b + a c + b c & = q, \end{matrix}

így pedig

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} = {(a + b + c)}^{2} - 2 (a b + a c + b c) = p^{2} - 2 q, \end{matrix}

továbbá (2)-ből

\begin{matrix} a^{3} + b^{3} + c^{3} = p (p^{2} - 2 q) - q p + 3 r = p^{3} - 3 p q + 3 r . \end{matrix}

Mindezek alapján (1) jobb oldala az egyenlet együtthatóival így alakul:

\begin{matrix} \frac{p (p^{2} - 2 q)}{2 r} - \frac{p^{3} - 3 p q + 3 r}{r} = \frac{- p^{3} + 4 p q - 6 r}{2 r}, \end{matrix}

amint azt a feladat állítja.