A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Tekintsük a pozitív racionális számoknak a következő részhalmazát: -ban minden ilyen szám benne van, kivéve az 1 és számokat. Állítjuk, hogy teljes. Valóban ha , akkor és is pozitív racionális szám. Továbbá mivel sem , sem nem nulla, azért ez utóbbi számok egyike sem . Másrészt (mert ), tehát és egyike sem , s így ezek elemei. A keresett racionális számok nem lehetnek -ban, hiszen maga mutatja, hogy ezekre a mondott feltétel nem teljesül. Így -nek legfeljebb két értéke lehet: , és , állítjuk, hogy ezek jók. Mivel egy teljes halmazra esetén is teljesül, elegendő megmutatnunk, hogy ha benne van egy teljes halmazban, akkor minden és közötti racionális szám is benne van. Legyen tehát tetszőleges teljes halmaz, és tegyük fel, hogy . Az -re vonatkozó teljes indukcióval látjuk be, hogy minden -re a tört eleme -nek. -re ez a feltevésünk alapján igaz. Tegyük fel, hogy tartalmaz minden -nél kisebb nevezőjű, és közé eső racionális számot. Ha vagy eleme -nek, ebből már következik, hogy . Mivel ezek egymás reciprokjai, az egyik kisebb -nél, és mivel mindkettő nevezője kisebb -nél, benne is van -ben. Ez igazolja állításunkat. |