Tekintsük a pozitív racionális számoknak a következő $H$ részhalmazát: $H$-ban minden ilyen szám benne van, kivéve az 1 és $1/2$ számokat. Állítjuk, hogy $H$ teljes.
Valóban ha $p/q\in H$, akkor $p/\left(p+q\right)$ és $q/\left(p+q\right)$ is pozitív racionális szám. Továbbá mivel sem $p$, sem $q$ nem nulla, azért ez utóbbi számok egyike sem $1$. Másrészt $p\ne q$ (mert $1\notin H$), tehát $p/\left(p+q\right)$ és $q/\left(p+q\right)$ egyike sem $1/2$, s így ezek $H$ elemei.
A keresett $r$ racionális számok nem lehetnek $H$-ban, hiszen maga $H$ mutatja, hogy ezekre a mondott feltétel nem teljesül. Így $r$-nek legfeljebb két értéke lehet: $1$, és $1/2$, állítjuk, hogy ezek jók. Mivel egy $T$ teljes halmazra $1\in T$ esetén $\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\in T$ is teljesül, elegendő megmutatnunk, hogy ha $1/2$ benne van egy $T$ teljes halmazban, akkor minden $0$ és $1$ közötti racionális szám is benne van.
Legyen tehát $T$ tetszőleges teljes halmaz, és tegyük fel, hogy $1/2\in T$. Az $n$-re vonatkozó teljes indukcióval látjuk be, hogy minden $1\leqq k<n$-re a $k/n$ tört eleme $T$-nek. $n=2$-re ez a feltevésünk alapján igaz. Tegyük fel, hogy $T$ tartalmaz minden $n$-nél kisebb nevezőjű, $0$ és $1$ közé eső racionális számot. Ha $\frac{n-k}{k}$ vagy $\frac{k}{n-k}$ eleme $T$-nek, ebből már következik, hogy $k/n\in T$. Mivel ezek egymás reciprokjai, az egyik kisebb $1$-nél, és mivel mindkettő nevezője kisebb $n$-nél, benne is van $T$-ben. Ez igazolja állításunkat.