Kezdőlap


Feladat:	F.2338	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1982/május, 207 - 208. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális számok és tulajdonságaik, Egyenlőtlenségek, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/december: F.2338

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy a mondott feltételek mellett a bal oldal minden tagja kisebb $a$ -nál, ebből a bizonyítandó egyenlőtlenség azonnal következik. Jelöljük a bal oldalon a $k$ -adik tagot $A_{k}$ -val.
Először is $A_{1} < a$ , mivel $\sqrt[]{a} < a$ alapján

\begin{matrix} A_{1} = \sqrt[]{1 + \sqrt[]{a}} < \sqrt[]{1 + a} \leq \sqrt[]{1 + a} \cdot \sqrt[]{- 1 + a} = \sqrt[]{a^{2} - 1} < a . \end{matrix}

Ha már tudjuk, hogy

A_{k} < a

valamely

k \geq 1

-re, akkor

\begin{matrix} A_{k + 1}^{2} - 1 = \sqrt[]{a + \sqrt[]{a^{2} + ... + \sqrt[]{a^{k + 1}}}} < \sqrt[]{a + \sqrt[]{a^{3} + ... + \sqrt[]{a^{k + 2^{k}}}}} = \\ = \sqrt[]{a} \sqrt[]{1 + \sqrt[]{a + ... + \sqrt[]{a^{k}}}} = \sqrt[]{a} \cdot A_{k} < a \sqrt[]{a} . \end{matrix}

Ezért az

A_{k + 1} < a

a igazolásához ‐ és a teljes indukció elve alapján a feladat állításának bizonyításához ‐ mindössze azt kell megmutatnunk, hogy

a \geq 2

esetén

a \sqrt[]{a} \leq a^{2} - 1

.
Átrendezve

\begin{matrix} a - \sqrt[]{a} + \frac{1}{4} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{4} . \end{matrix}

Ez pedig igaz, mert a bal oldal

{(\sqrt[]{a} - 1 / 2)}^{2} \geq {(\sqrt[]{2} - 1 / 2)}^{2} > 3 / 4

és a jobb oldal értéke legfeljebb

1 / 2 + 1 / 4 = 3 / 4

Megjegyzések. 1. Azt bizonyítottuk, hogy az

A_{1}, A_{2}, A_{3}, ...

sorozat minden tagja

a

alatt marad. Ez pedig ‐ mivel a sorozat nyilvánvalóan szigorúan monoton növő ‐ egyúttal azt is jelenti, hogy az

{A_{n}}

sorozat konvergens. S ez nemcsak

a \geq 2

esetén van így, hanem minden pozitív

a

esetén.
Például a

B_{n} = \sqrt[]{1 + \sqrt[]{1 + \sqrt[]{1 + ... + \sqrt[]{1}}}}

(n + 1

darab egyes) sorozat határértéke

1, 6180 ...

.
2. Az is belátható, hogy az

A_{n}

sorozat tagjaira

n \geq 2

és

a \geq 2

esetén

\begin{matrix} \sqrt[]{1 + \sqrt[]{2} \sqrt[]{a}} \leq A_{n} < \sqrt[]{1 + \sqrt[]{a} (1 + \sqrt[]{3})} . \end{matrix}