Kezdőlap


Feladat:	F.2337	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Nyikes Péter
Füzet:	1982/április, 156 - 157. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Csonkagúlák, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/november: F.2337

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Vizsgáljuk először azt az esetet, amikor $A_{2} < A_{1}$ . Tegyük fel, hogy a háromoldalú csonka gúla elmetszhető az alaplapjával párhuzamos síkkal a kívánt módon. Jelöljük a síkmetszet területét $A$ -val. Tekintsük a részekbe (ugyancsak háromoldalú csonka gúlákba) beírt gömböket. A nagyobb gömb sugarát jelöljük $R_{1}$ -gyel, a kisebbét $R_{2}$ -vel. Bármely két gömb hasonló, sőt hasonló helyzetű is, bármely pontot véve a hasonlóság centrumának. Esetünkben a gömbök külső hasonlósági pontja annak a gúlának a főcsúcsa $(H)$ , amelyből az eredeti csonka gúla származtatható. Ez a pont ugyanis rajta van a gömbök három különböző közös külső érintősíkján.
Az a $H$ középpontú nyújtás, melynél az $R_{2}$ sugarú gömb képe az $R_{1}$ sugarú gömb, az $A_{2}$ területű lapot az $A$ területűbe, az $A$ területűt pedig az $A_{1}$ területűbe viszi át, hiszen e lapok síkjai egymással párhuzamos érintősikok. Ebből következik, hogy a csonka gúla két része hasonló egymáshoz; a hasonlóság lineáris aránya egyenlő a beléjük írt gömbök sugarainak arányával. Ennek alapján

\begin{matrix} \frac{A}{A_{2}} = \frac{A_{1}}{A} = {(\frac{R_{1}}{R_{2}})}^{2}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} A = \sqrt[]{A_{1} A_{2}} . \end{matrix}

Jelöljük az

R_{1}

, ill.

R_{2}

sugarú gömb köré írt csonka gúla palástjának területét

P_{1}

-gyel, ill.

P_{2}

-vel. A feladatban szereplő

P

ezek összegével egyenlő. Annak érdekében, hogy

P

-t

A_{1}

A_{2}

-vel kapcsolatba hozzuk, térfogatra vonatkozó összefüggéseket használunk fel. A csonka gúla ismert térfogat képlete:

\begin{matrix} V = \frac{m}{3} (T + \sqrt[]{T t} + t) . \end{matrix}

Másfelől minden olyan konvex poliéder, amelybe gömb írható, felbontható olyan gúlákra, amelyek közös magassága a beírt gömb sugara, azok az alaplapok pedig, amelyekhez ez a magasság tartozik, együttesen a test határoló lapjait adják. Az ilyen test térfogata ezért egyenlő a test felszíne és a beírt gömb sugara szorzatának a harmadrészével. Írjuk fel pl. az

R_{1}

sugarú gömb köréírt csonka gúla térfogatát mindkét módon. Nyilvánvaló, hogy a magasság a gömb átmérője.

\begin{matrix} \frac{2 R_{1}}{3} (A_{1} + \sqrt[]{A_{1} A} + A) = \frac{R_{1}}{3} (A_{1} + A + P_{1}) . \end{matrix}

Az egyenletből

\begin{matrix} P_{1} = A_{1} + 2 \sqrt[]{A_{1} A} + A = {(\sqrt[]{A_{1}} + \sqrt[]{A})}^{2}, \end{matrix}

és hasonlóan

\begin{matrix} P_{2} = (\sqrt[]{A} + {\sqrt[]{A_{2}})}^{2} . \end{matrix}

Felhasználva az

A = \sqrt[]{A_{1} A_{2}}

összefüggést,

\begin{matrix} P_{1} = \sqrt[]{A_{1}} {(\sqrt[4]{A_{1}} + \sqrt[4]{A_{2}})}^{2} \end{matrix}

adódik. Hasonló módon kapjuk, hogy

\begin{matrix} P_{2} = \sqrt[]{A_{2}} {(\sqrt[4]{A_{1}} + \sqrt[4]{A_{2}})}^{2} . \\ P = P_{1} + P_{2} = (\sqrt[]{A_{1}} + \sqrt[]{A_{2}}) {(\sqrt[4]{A_{1}} + \sqrt[4]{A_{2}})}^{2} . \end{matrix}

amit bizonyítanunk kellett.
b) Az

A_{1} = A_{2}

esetben háromoldalú hasábbal van dolgunk. Ekkor

A

is egyenlő a közös értékkel. A bizonyítandó állítás a

\begin{matrix} P = 8 A \end{matrix}

összefüggésre egyszerűsödik. Ha a részekbe gömb írható, a metsző sík a hasábot félmagasságban vágja ketté, és a magasság fele egyenlő az átmérővel. A gömbök sugara legyen

R

. Az egyik részre felírva a térfogattal egyenlő kifejezéseket

\begin{matrix} 2 R A = \frac{R}{3} (2 A + \frac{P}{2}), \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} P = 8 A . \end{matrix}

(L. L.)

Nyikes Péter (Miskolc, Földes F. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. A megoldás során sehol sem használtuk ki, hogy a feladatban szereplő csonka gúla háromoldalú.