Kezdőlap


Feladat:	F.2335	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Alberti G. , Almássy T. , Böröczky K. , Hajas Csilla , Károlyi Gy. , Peták T. , Szöllősi Gabriella , Tranta Beáta , Törőcsik J.
Füzet:	1982/május, 204 - 207. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Terület, felszín, Prímtényezős felbontás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/november: F.2335

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Felhasználjuk a Heron-féle területképletet:

\begin{matrix} 16 t^{2} & = (a + b + c) (a + b - c) (a - b + c) (- a + b + c) = \\ = ({(a + b)}^{2} - c^{2}) (c^{2} - {(a - b)}^{2}) . \end{matrix}

Esetünkben

a = 410, b = 500

egységnyi és

c

a harmadik oldal, amelyre tehát

500 - 410 = 90 < c < 910

, és

\begin{matrix} 16 t^{2} = (910^{2} - c^{2}) (c^{2} - 90^{2}) . \end{matrix}

Mivel

t

egész szám, azért a bal oldal páros szám, tehát jobbról is van páros tényező. Sőt mindkettő páros, hiszen összegük:

910^{2} - 90^{2}

, páros, ezért egyező párosságúak. Így

c^{2}

páros és vele

c

is az,

c = 2 c_{1}

, ahol

c_{1}

egész (valamint a továbbiakban használatba veendő betűk mindegyike is). Ezt beírva

\begin{matrix} t^{2} = (455^{2} - c_{1}^{2}) (c_{1}^{2} - 45^{2}) . \end{matrix}

(1)

Itt

c_{1}

nem lehet páros, mert úgy

c_{1}^{2} = {(2 k)}^{2} = 4 k^{2}

alapján az első tényező

(4 l + 1)

alakú lenne, ahogy minden páratlan szám négyzete:

{(2 m + 1)}^{2} = 4 m (m +

+ 1) + 1

alakú; a második tényező ugyanezért

4 l - 1

alakú lenne, így pedig a jobb oldali szorzat is

4 q - 1

alakú, nem lehetne tehát semmilyen

t

egész szám négyzete. Eszerint

c_{1}

páratlan, írjuk így:

c_{1} = 2 c_{2} + 1

, és itt

22 < c_{2} < 227

.
Ekkor viszont (1) mindkét tényezője többszöröse a

4

-nek,

t^{2}

pedig a

16

-nak. Legyen ezért

t = 4 t_{1}

, ekkor a következő egyenlethez kell megoldást keresnünk egész

t_{1}

és

c_{2}

mellett:

\begin{matrix} 16 t_{1}^{2} = (454 - 2 c_{2}) (456 + 2 c_{2}) (2 c_{2} - 44) (2 c_{2} + 46), \\ t_{1}^{2} = (227 - c_{2}) (c_{2} + 23) (228 + c_{2}) (c_{2} - 22) . & (2) \end{matrix}

A négy tényező közül az elülső kettő is, a hátulsó kettő is egyező párosságú, mert összegeik párosak:

250

, ill.

206 + 2 c_{2}

; viszont az elülső két tényező ellentétes párosságú, mint a hátulsók, mert az első és harmadik tényező összege páratlan.
Ezek alapján a további keresést esetekre szétválasztva végezzük azáltal, hogy föltevéseket vezetünk be az egyik, ill. a másik tényezőpár párosságára. Ezekkel mindig bebiztosítjuk, hogy (2) jobb oldalán a 2-es prímszám kitevője páros legyen. Az így kínálkozó

c_{2}

értékekkel azután megnézzük a teljes szorzatot, hogy négyzetszám-e. Az első ilyen gondolatmenet után a továbbiaknak csak az eredményét közöljük, a szükséges próbák nagyobb száma miatt.
I. Keressük elsőnek az olyan megoldásokat ‐ feltéve, hogy léteznek ilyenek ‐, amelyekben (2)-nek első két tényezője páratlan, vagyis

c_{2}

páros, méghozzá legyen

\begin{matrix} c_{2} = 4 α + 2 alakú . \end{matrix}

Ekkor a hátsó két tényező

\begin{matrix} 230 + 4 α = 2 (115 + 2 α), ill. 4 α - 20 = 4 (α - 5), \end{matrix}

az első zárójelben biztosan páratlan szám áll, és eddig

2^{3}

-t tudtunk biztosítani. Ezért

t_{1}^{2}

csak úgy lehet négyzetszám, ha

(α - 5)

páros és törzsszámhatványok szorzatára bontva, 2-nek páratlan kitevős hatványát tartalmazza.
A

22 < c_{2} = 4 α + 2 < 227

korlátozás alapján

0 < α - 5 < 52

. Ezek közt a korlátok közt

2^{5} \cdot p

alakú szám egyedül a 32. (

p

a továbbiakban mindig az alkalmas páratlan számokat jelöli.)

α - 5 = 32

-ből

α = 37, c_{2} = 150

, és evvel (2) jobb oldalának legnagyobb tényezője

228 + c_{2} = 378 = 2 \cdot 3^{3} \cdot 7

, a nagyságra második

c_{2} + 23 = 173

, prím, nem fordulhat elő a kisebb tényezőkben, innen tehát nem kapunk megoldást.

α - 5 = 2^{3} \cdot p

alakú számokat adnak korlátaink között

α = 13, 29, 45

, ezekből rendre

c_{2} = 54, 118, 182

Csak a harmadik érték mellett lesz (2) jobb oldala négyzetszám:

(5 \cdot 3^{2}) \cdot 205 \cdot

\cdot (2 \cdot 205) \cdot (5 \cdot 32) = {(3 \cdot 2^{3} \cdot 5 \cdot 205)}^{2}

, ekkor a háromszög harmadik oldala

c = 4 c_{2} + 2 = 730

.
Ha pedig az

α - 5 = 2 p

értékeket próbálgatjuk végig, az

α - 5 = 50

α = 55

c_{2} = 222

c = 890

megoldás adódik, evvel

t_{1} = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5^{3} \cdot 7

.
II. Nézzük tovább a

c_{2} = 4 β

esetet. Ekkor hasonlóan

\begin{matrix} 228 + c_{2} = 4 (β + 57) és c_{2} - 22 = 2 (2 β - 11), \end{matrix}

itt

(β + 57)

-ben kívánjuk páratlan kitevővel a 2-es törzstényzőt és

5 < β < 57

.
Az egyetlen

β + 57 = 2^{5} \cdot 3

alakú próbálkozás nem ad megoldást, ugyanígy azok sem, amelyekben

β + 57 = 2^{3} \cdot p

.
Ha pedig

β + 57 = 2 p

, innen a

p = 35, P = 13, c_{2} = 52

útján a

c = 210

megfelelő oldalhosszat kapjuk,

t_{1} = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5^{3} \cdot 7

(ugyanannyi, mint

c = 890

mellett).
III. Legyen végül (2)-ben az első két tényező páros,

c_{2} = 2 γ + 1

, vagyis

10 < γ < 113

. Ekkor

\begin{matrix} 227 - c_{2} = 2 (113 - γ), c_{2} + 23 = 2 (γ + 12), \end{matrix}

tehát szorzatukból 2-nek a négyzetét emelhetjük ki már előre, és (2) jobb oldala csak úgy lehet négyzetszám, ha a két utóbbi zárójelbeli kifejezés szorzatában (is) páros kitevővel szerepel a 2.
A zárójelekben ellentett párosságú számok állnak, mert az összegük

125

, páratlan, így csak az egyik kifejezésben léphet föl tényezőként

2^{2} = 4

vagy hatványa.
A föntebbiek mintájára csak abból a föltevésből kiindulva kapunk megoldást, hogy

γ + 12 = 4 p

, éspedig

p = 15, γ = 48, c_{2} = 97

mellett

c = 390

, ekkor (2)-ből

t_{1}^{2} = 130 \cdot 120 \cdot 325 \cdot 75 = {(2^{2} \cdot 3 \cdot 5^{3} \cdot 13)}^{2}

.
Mindezek szerint a kérdéses háromszög harmadik oldala 4 értéket vehet fel:

210, 390, 730

és

890

. (Az első két megoldás összetolható egyenlő szárú háromszöggé, szárai

500

egységnyiek, alapja

210 + 390 = 600

Böröczky Károly (Budapest, Ságvári E. Gyak. Gimn., IV. o. t.)
Almássy Tamás (Nyíregyháza, Krúdy Gy. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzések. 1. Páratlan szám négyzetének fenti

4 m (m + 1) + 1

előállításáról azt is látjuk, hogy mindig

8 q + 1

alakú, hiszen

m

és

(m + 1)

egyike páros, ennélfogva (1) mindkét tényezője

8

-cal is osztható. Ezt azonban nem lehetne kihasználni (2) további redukálására, mert nem tudjuk helyhez kötni, melyik zárójelekben van további példány a

2

-es prímtényezőből. Éppen ebből alakult ki az I‐II., ill. III. részek elágazása.
2. Egyes megoldásokat összekereshetnénk az alábbi alkalmi meggondolásokkal is, ezen az úton azonban nehéz lenne áttekinteni, hogy eljutottunk-e minden megoldáshoz.
Megpróbálhatnánk, mely

c_{2}

értékek mellett válnék teljes négyzetté (2) jobb oldalának valamelyik tényezője, továbbá, hogy ugyanekkor teljes négyzet-e a többi tényezők szorzata. ‐ Nincs ilyen

c_{2}

érték. (Viszont az egyszerűsítés előtt

c = 890

mellett

s - b = 20^{2}

; de gondolhatnánk (2) tényezőinek négyzetosztóira is.

Fölléphetne egy szám úgy is

t_{1}^{2}

-ben páros kitevővel (persze törzsszámra gondolunk), ha a négy tényező közül kettőnek közös tényezője, páratlan kitevővel.
Ha a

(227 - c_{2})

és

(c_{2} + 23)

tényezőknek van közös osztója, ez osztója az összegüknek,

250

-nek is. Innen szóba jönnek

t_{1}

osztói közé a

250

osztói.

Hasonlóan szóba jönnek a

227 - c_{2}

és

228 + c_{2}

párból

455 = 5 \cdot 7 \cdot 13

osztói,

227 - c_{2}

és

c_{2} - 22

párból

205 = 5 \cdot 41

osztói,

valamint a további párokból ugyanerre az ötletre támaszkodva a különbségeik osztói is:

c_{2} + 23

és

c_{2} + 228

-ból ismét

205

osztói,

c_{2} + 23

és

c_{2} - 22

-ből ismét

45

osztói,

c_{2} + 228

és

c_{2} - 22

-ből ismét 250 osztói.

Annyit mindenesetre látunk ebből a (tovább járhatatlannak tekintendő) útból, hogy a terület mértékszámának törzstényezői közt csak a következők várhatók:

2

3

5

7

13

41

(ti. ha azt már kipróbáltuk, hogy egyik zárójelnek sincs más prímszámnégyzet-osztója).
3. Bár a feladatot a geometriai feladatok között tűzte ki a szerkesztőség, valójában számelméleti jellegű volt, negyedfokú diofantoszi egyenletre vezetett, de redukálható felbontással. Viszonylag sok esetet kellett megvizsgálni, ezért a megoldók többsége elakadt félúton, vagy több lényeges eset vizsgálatát elmulasztotta. Ezért igen sok a sikertelen próbálkozás a dolgozatok között. Ezek egy része azért nem kapott pontot, mert számítógépes programot adtak, vagy kizárólag gépies próbálkozásokon alapultak (vö. a szeptemberi versenykiírás vége). A hiányos dolgozatok beküldői is hagytak ki néhány esetet, de értékelhető részeredményekre is jutottak. (Cz. A.)