Kezdőlap


Feladat:	F.2332	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1982/április, 152 - 153. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Valós számok és tulajdonságaik, Alakzatok súlypontja (tömegközéppontja), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/november: F.2332

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A feltételek alapján

\begin{matrix} 0 = c \cdot 1 - b^{2} = (\sum_{i = 1}^{n} i^{2} a_{i}) (\sum_{i = 1}^{n} a_{i}) - {(\sum_{i = 1}^{n} i a_{i})}^{2}, \end{matrix}

ahonnan a műveletek elvégzése után azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} 0 = \sum_{i = 1}^{n - 1} \sum_{j = i + 1}^{n} (i^{2} - 2 i j + j^{2}) a_{i} a_{j} . \end{matrix}

A jobb oldalon nem-negatív tagok állnak, így összegük csak úgy lehet nulla, ha mindegyik tag értéke külön-külön nulla. Ez pedig azt jelenti, hogy minden

1 ≦ i ≦ j ≦ n

párra

a_{i} a_{j} = 0

, vagyis az

a_{1}

a_{2}

...

a_{n}

számok közül legalább

n - 1

zérus. Az

n

-edik érték

\sum_{i = 1}^{n} a_{i} = 1

alapján

1

, legyen ez ‐ mondjuk ‐

a_{k}

. Ekkor

b = \sum_{i = 1}^{n} i a_{i} = k \cdot a_{k} = k

, egész szám. Ezzel a feladat állítását beláttuk.

II. megoldás. Ha a számegyenes

1

2

...

n

pontjaiba rendre

a_{1}

a_{2}

...

a_{n}

egységnyi tömeget helyezünk el, a tömegrendszer súlypontja

b

-ben lesz. Azt, hogy a tömeg milyen mértékben szóródik a súlypontja körül, általában a

\begin{matrix} d = \sum_{i = 1}^{n} {(i - b)}^{2} a_{i} \end{matrix}

mennyiséggel mérjük. Ez a mennyiség definíciója szerint nem negatív, és csak akkor lehet

0

-val egyenlő, ha a fenti összeg minden tagja

0

. Mivel az

a_{i}

-k összege

1

, nem lehet mindegyikük

0

-val egyenlő. Az

{(i - b)}^{2}

tényezők közül viszont csak legfeljebb egy lehet

0

-val egyenlő, ez is csak úgy, ha

b

egész, és

i

egyenlő vele. Ha tehát

d = 0

, akkor

b

egész, így elegendő azt bizonyítani, hogy

d = 0

. Ha elvégezzük a négyzetreemelést, kapjuk, hogy

\begin{matrix} d = \sum_{i = 1}^{n} i^{2} a_{i} - 2 b \sum_{i = 1}^{n} i a_{i} + b^{2} \sum_{i = 1}^{n} a_{i} = c - b^{2}, \end{matrix}

ha tehát

c = b^{2}

, akkor

d

értéke valóban

0

Megjegyzés. Mivel

d ≧ 0

, megoldásunkból az is következik, hogy

c ≧ b^{2}

mindig teljesül, vagyis

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} i^{2} a_{i} ≧ {(\sum_{i = 1}^{n} i a_{i})}^{2} . \end{matrix}

Hasonlóan látható be általában, hogy ha

a_{i} ≧ 0

\sum_{i = 1}^{n} a_{i} = 1

, és

x_{1}

...

x_{n}

tetszőlegesek, akkor

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} a_{i} ≧ {(\sum_{i = 1}^{n} x_{i} a_{i})}^{2} . \end{matrix}