Kezdőlap


Feladat:	F.2329	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1982/március, 113. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Érintőnégyszögek, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat, Síkgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/október: F.2329

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az állítást pontosítani kell. Ugyanis az átlók közti szögek közül két egyenlő nagyságú az $a$ , $c$ szemben fekvő oldalpárnak a látószöge, a $180^{\circ}$ -ra kiegészítők pedig a $b$ , $d$ oldalpáré. Mivel egyrészt $cos φ \neq cos (180^{\circ} - φ)$ ‐ kivéve ha mindkettő $0$ ‐ másrészt a feltételi egyenlőség bal oldalán megkülönböztetett szerepet kaptak az oldalpárok, azért az állítás csak az egyik esetben lehet igaz.
Akkor igaz az állítás, ha $φ$ -n az $a$ , $c$ oldalpár látószögét értjük.

Azt viszont szabadon választhatjuk, hogy az átlók közül

e

-n azt értjük, amelyik az

a

b

, valamint a

c

d

oldalpárok közös végpontjait köti össze, ugyanis

e

és

f

szerepe a föltételi egyenlőségben fölcserélhető. Jelöljük az átlók darabjait a csúcsok körüljárása szerint

f_{1}

e_{1}

f_{2}

e_{2}

-vel ‐ az

a

d

oldalpár közös csúcsától kezdve ‐ ekkor a cosinustételt alkalmazva a négy részháromszögre

\begin{matrix} a^{2} = e_{1}^{2} + f_{1}^{2} - 2 e_{1} f_{1} cos φ, \\ b^{2} = e_{1}^{2} + f_{2}^{2} + 2 e_{1} f_{2} cos φ, \\ c^{2} = e_{2}^{2} + f_{2}^{2} - 2 e_{2} f_{2} cos φ, \\ d^{2} = e_{2}^{2} + f_{1}^{2} + 2 e_{2} f_{1} cos φ . \end{matrix}

Ezekből összeadással és kivonással

\begin{matrix} (b^{2} + d^{2}) - (a^{2} + c^{2}) = 2 (e_{1} + e_{2}) (f_{1} + f_{2}) cos φ = 2 e f cos φ, \end{matrix}

(1)

minden, a jelöléseink szerinti konvex négyszögre.
Feladatunk szerint a jobb oldal helyére a

2 a c - 2 b d

kifejezést írhatjuk. Alkalmas átrendezéssel, majd mindkét oldal pozitív négyzetgyökét véve

\begin{matrix} b + d = a + c, \end{matrix}

ez pedig ‐ mint ismeretes ‐ elegendő feltétele annak, hogy négyszögünknek legyen beírt köre.