Feladat:	F.2327	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1982/március, 112. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/október: F.2327

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Jól ismert goniometriai azonosságokat és a $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}\alpha +\text{sin}\beta =2\text{sin}\frac{\alpha +\beta }{2}\text{cos}\frac{\alpha -\beta }{2}}\end{array}$ összefüggést felhasználva függvényünk a $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\text{sin}\frac{1}{2}\text{cos}\left(\frac{\text{cos}2x}{2}\right)}\end{array}$ alakra hozható. Itt $2\text{sin}\frac{1}{2}=0\mathrm{,}9589$ konstans, így feladatunk azt megkeresni, hogy az $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=\text{cos}\left(\frac{\text{cos}2x}{2}\right)=\text{cos}\left(\frac{|\text{cos}2x|}{2}\right)}\end{array}$ függvény hol veszi fel a szélső értékeit. Tudjuk, hogy a koszinusz-függvény $\left[\mathrm{0,}\pi \right]$ intervallumban szigorúan monoton csökken. Másrészt $\begin{array}{c}{\displaystyle 0\leqq \frac{1}{2}|\text{cos}2x|\leqq \frac{1}{2}<\pi }\end{array}$ tehát $f\left(x\right)$ ott veszi fel maximumát, ahol $\frac{1}{2}|\text{cos}2x|$ a minimumát, minimumát pedig azokon a helyeken, ahol $\frac{1}{2}|\text{cos}2x|$ maximális. A kérdezett függvény és az $\frac{1}{2}|\text{cos}2x|$ függvény a szélső értékeit tehát ugyanazokon a helyeken veszi fel. Ez utóbbiak azok az értékek, ahol $\text{cos}2x=0$ vagy $|\text{cos}2x|=1$. A keresett értékek ezek alapján az $x=k\pi /4$ ($k=0$, $\pm 1$, $\pm 2$, $\text{...}$,) számok. (I. S.)