Feladat: F.2327 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 1982/március, 112. oldal  PDF file
Témakör(ök): Függvényvizsgálat, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/október: F.2327

Hol veszi fel szélső értékeit a következő függvény?
sin(cos2x)+sin(sin2x)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 

Jól ismert goniometriai azonosságokat és a
sinα+sinβ=2sinα+β2cosα-β2
összefüggést felhasználva függvényünk a
2sin12cos(cos2x2)
alakra hozható. Itt 2sin12=0,9589 konstans, így feladatunk azt megkeresni, hogy az
f(x)=cos(cos2x2)=cos(|cos2x|2)
függvény hol veszi fel a szélső értékeit.
Tudjuk, hogy a koszinusz-függvény [0,π] intervallumban szigorúan monoton csökken. Másrészt
012|cos2x|12<π
tehát f(x) ott veszi fel maximumát, ahol 12|cos2x| a minimumát, minimumát pedig azokon a helyeken, ahol 12|cos2x| maximális.
A kérdezett függvény és az 12|cos2x| függvény a szélső értékeit tehát ugyanazokon a helyeken veszi fel. Ez utóbbiak azok az értékek, ahol cos2x=0 vagy |cos2x|=1. A keresett értékek ezek alapján az x=kπ/4 (k=0, ±1, ±2, ...,) számok. (I. S.)