Feladat: F.2321 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1982/február, 63 - 64. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Paraméteres egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/szeptember: F.2321

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vizsgáljuk meg először, milyen t értékekre teljesül az A) állítás. Az x2+(t+1)x+1=0 másodfokú egyenletnek két különböző gyöke pontosan akkor van, ha az egyenlet diszkriminánsa (t+1)2-4>0. Másrészt a gyökök és az együtthatók közötti összefüggés alapján a két gyök szorzata 1, tehát így mind a két gyök pozitív, vagy mind a kettő negatív. Így az egyenlet gyökei akkor és csak akkor pozitívak, ha összegük pozitív, vagyis ha -(t+1)>0. Így az A) állítás pontosan akkor teljesül, ha egyrészt (t+1)2>4, másrészt (t+1)<0, azaz ha t<-3.
A B) állításban szereplő egyenlőtlenséget

(2x-1)2+(t+2)x≥0(1)
alakba írva láthatjuk, hogy t≥-2 esetén pozitív x-ekre (1) bal oldalán mindkét tag nemnegatív, t<-2 esetén viszont (1) bal oldalának értéke az x=1/2 helyen negatív. Így a B) állítás pontosan akkor teljesül, ha t≥-2.
Összefoglalva, t<-3 esetén A) igaz, B) nem; -3≤t<-2 esetén sem A), sem B) nem igaz, t≥-2 esetén pedig B) igaz, és A) nem. Így a keresett t számok azok, melyekre vagy t<-3 vagy t≥-2.