Kezdőlap


Feladat:	F.2318	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Alberti G. , Balázs Z. , Böröczky K. , Csere K. , Csörgő Tamás , Drávucz Katalin , Feledi Gy. , Fritz P. , Genczler Judit , Heckenast L. , Hetyei G. , Jakab G. , Károlyi Gy. , Kató G. , Kerényi I. , Király Z. , Magyar Á. , Magyar Cs. , Megyesi G. , Mikó Teréz , Mohai T. , Molnár L. , Nagy 548 R. , Simák Gy. , Szabó T. , Szállási Z. , Weisz F.
Füzet:	1982/január, 21 - 22. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Hossz, kerület, Feladat, Párhuzamos szelőszakaszok tétele, Párhuzamos szelők tétele és megfordítása
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/május: F.2318

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $A_{2}$ , $B_{2}$ , $C_{2}$ , $D_{2}$ rendre az $A B$ , $B C$ , $C D$ , $D A$ oldalakat $λ : (1 - λ)$ arányban osztó pont. Ha a négyszög $A B C$ szögét tekintjük, a $B A$ szögszáron

\begin{matrix} A_{1} B = λ \cdot A B, A_{2} B = (1 - λ) A B, \end{matrix}

B C

szögszáron

\begin{matrix} B_{2} B = λ \cdot B C, B_{1} B = (1 - λ) B C . \end{matrix}

A párhuzamos szelők tételének megfordítása alapján

A_{1} B_{2} ∥ A_{2} B_{1} ∥ A C

. Ez viszont arra jogosít fel, hogy a párhuzamos szelők tételének a szelődarabokra vonatkozó következményét alkalmazzuk, mely szerint

\begin{matrix} A C : | A_{1} B_{2} | : A_{2} B_{1} = A B | : A_{1} B | : A_{2} B . \end{matrix}

Ennek alapján, figyelembe véve az előbbi összefüggéseket:

\begin{matrix} A_{1} B_{2} = λ \cdot A C, A_{2} B_{1} = (1 - λ) A C . \end{matrix}

A_{1} A_{2}

-re és

B_{1} B_{2}

-re kivonással azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} A_{1} A_{2} = (2 λ - 1) A B, B_{1} B_{2} = (2 λ - 1) B C \end{matrix}

(tekintettel arra, hogy

λ \geq 1 / 2

A_{1} A_{2} B_{1}

háromszög oldalain a háromszög‐egyenlőtlenség alapján fennáll az

\begin{matrix} A_{1} B_{1} \leq A_{1} A_{2} + A_{2} B_{1} \end{matrix}

egyenlőtlenség, azaz

\begin{matrix} A_{1} B_{1} \leq (2 λ - 1) A B + (1 - λ) A C . \end{matrix}

Ennek mintájára (felhasználva, hogy az

A B C D

négyszög csúcsai a feladatban egyenrangú szerepet játszanak) további három egyenlőtlenséget írhatunk fel:

\begin{matrix} B_{1} C_{1} & \leq (2 λ - 1) B C + (1 - λ) B D, \\ C_{1} D_{1} & \leq (2 λ - 1) C D + (1 - λ) C A, \\ C_{1} A_{1} & \leq (2 λ - 1) D A + (1 - λ) D B . \end{matrix}

A négy egyenlőtlenségből összeadással (figyelembe véve a feladatban szereplő jelöléseket) kapjuk, hogy

\begin{matrix} k_{λ} \leq (2 λ - 1) k + 2 (1 - λ) d . \end{matrix}

Ezzel a feladat állításának egyik részét igazoltuk. Egyenlőség csak akkor állhat fenn, ha azok a háromszögek, amelyekre az egyenlőtlenségeket felírtuk, elfajulók.

λ = 1 / 2

és

λ = 1

esetén fenn is áll az egyenlőség, hiszen az előbbi esetben

k_{λ} = d

, az utóbbiban pedig

k_{λ} = k

.
Írjuk fel most a háromszög-egyenlőtlenséget az

A_{1} B_{1} B_{2}

háromszögre abban az alakban, amely két oldal különbségének abszolút értéke és a harmadik oldal között teremt kapcsolatot. Eszerint

\begin{matrix} | A_{1} B_{2} - B_{1} B_{2} | \leq A_{1} B_{1}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} | λ \cdot A C - (2 λ - 1) B C | \leq A_{1} B_{1} . \end{matrix}

Ennek mintájára felírhatók még

\begin{matrix} | λ \cdot B D - (2 λ - 1) C D | \leq B_{1} C_{1} \\ | λ \cdot C A - (2 λ - 1) D A | \leq C_{1} D_{1} \\ | λ \cdot D B - (2 λ - 1) A B | \leq D_{1} A_{1} \end{matrix}

Az egyenlőtlenségekben felhasználva még, hogy

| x + y | \leq | x | + | y |

, következik a feladat állításának másik része:

\begin{matrix} | 2 λ d - (2 λ - 1) k | \leq k_{λ} . \end{matrix}

λ = 1 / 2

esetén itt is egyenlőség áll fenn

(d = k_{λ})

λ = 1

esetén viszont nem. Az utóbbi esetben ugyanis az egyenlőtlenségek felírásánál tekintetbe vett háromszögek nem elfajulók, hacsak az

A B C D

négyszög nem elfajuló. Megjegyezzük még, hogy a feladatban szereplő abszolút értékjel felesleges, mivel konvex négyszögek esetén

2 λ d - (2 λ - 1) k

nem lehet negatív. Konvex négyszögekre ugyanis

k / 2 \leq d

, ezért

k - d \leq k / 2

, innen

2 λ (k - d) \leq λ k

, és mivel

λ k \leq k

2 λ k - 2 λ d \leq k

Csörgő Tamás (Gyöngyös, Berze Nagy J. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. A bizonyított egyenlőtlenség‐láncban szereplő függvényeket érdemes ábrázolni. Az ábrából kiolvasható, hogy az állítás következik abból, hogy

k_{λ}

λ

konvex függvénye. (L. L.)