Kezdőlap


Feladat:	F.2315	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ákosfai Z. , Alberti G. , Balázs Z. , Borsó Zs. , Bozai Zsuzsanna , Böröczky K. , Csere K. , Csere Kálmán , Cseri Hajnalka , Csörgő T. , Dobrosi T. , Drávucz Katalin , Fekete Zs. , Feledi Gy. , Gulyás Gy. , Halász P. , Heckenast L. , Hetyei G. , Ittzés A. , Károlyi Gy. , Kerényi I. , Király Z. , Magyar Á. , Magyar Cs. , Megyesi G. , Mihálykó Cs. , Mohay T. , Nagy R. , Pöltl J. T. , Regős Enikő , Selyem I. , Simek R. , Simonyi G. , Somogyi H. , Szabó E. , Szabó T. , Szállási Z. , Sziklai Mariann , Tranta Beáta , Törőcsik J. , Weisz F.
Füzet:	1982/január, 16 - 17. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/május: F.2315

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $k$ olyan pozitív egész, amelyre $k^{2} + 2 k \geq n$ . Felhasználva, hogy az $x_{1}$ , $x_{2}$ , $...$ pozitív tagú sorozat, s tagjai monoton csökkennek, (2) bal oldala legfeljebb.

\begin{matrix} x_{1} (\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + x_{4} (\frac{1}{4} + ... + \frac{1}{8}) + ... + x_{k^{2}} (\frac{1}{k^{2}} + ... + \frac{1}{k^{2} + 2 k}) = \\ = \frac{x_{1}}{1} f (1) + \frac{x_{4}}{2} f (2) + ... + \frac{x_{k^{2}}}{k} f (k), \end{matrix}

ahol

\begin{matrix} f (i) = i (\frac{1}{i^{2}} + \frac{1}{i^{2} + 1} + ... + \frac{1}{i^{2} + 2 i}) . \end{matrix}

(3)

Megmutatjuk, hogy

f (i) < 2

minden pozitív egész

i

-re, ebből (1) alapján azonnal adódik, hogy

\begin{matrix} \frac{x_{1}}{1} + \frac{x_{2}}{2} + ... + \frac{x_{n}}{n} < 2. \end{matrix}

(4)

f (i) < 2

egyenlőtlenséget bizonyítandó, (3) jobb oldalán a zárójelben álló kifejezést osszuk két részre. A (

2 i + 1

) összeadandó közül az első

i

darabot helyettesítsük

1 / i^{2}

-tel, a többi (

i + 1

)-et pedig

1 / (i^{2} + i)

-vel. Ezzel

f (i)

-nél nagyobb számot kapunk, tehát

\begin{matrix} f (i) < i (i \frac{1}{i^{2}} + (i + 1) \frac{1}{i^{2} + i}) = 2, \end{matrix}

ahogyan állítottuk. Ezzel (4)-et és így a feladat állítását is igazoltuk. (K. M.)

Csere Kálmán (Veszprém, Lovassy L. Gimn.. IV. o. t.)

Megjegyzés. Bizonyítottuk, hogy a (2) egyenlőtlenség jobb oldalán 3 helyett 2-t írva a feladat állítása igaz marad. Megmutatjuk, hogy 2-nél kisebb számokra (2) már nem feltétlenül teljesül. Láttuk ugyanis, hogy

f (i) < 2

, másrészt

f (i) = = i (\frac{1}{i^{2}} + ... + \frac{1}{i^{2} + 2 i}) > i \frac{2 i + 1}{i^{2} + 2 i} > 2 - \frac{3}{i}

. Most az

x_{1}

x_{2}

...

x_{k^{2} + 2 k}

értékeket mind az (

1 / 1 + 1 / 2 + ... + 1 / k

) szám reciprokának választjuk, és legyen

x_{i} = 0

, ha

i > k^{2} + 2 k

. Itt

k

egy később megválasztandó pozitív egészt jelöl. Az (1)-beli egyenlőtlenségek mind teljesülnek, és (2) bal oldalának értéke az

n = k^{2} + 2 k

helyen éppen

\begin{matrix} A = \frac{x_{1}}{1} f (1) + \frac{x_{4}}{2} f (2) + ... + \frac{x_{k^{2}}}{k} f (k) > \\ > 2 (\frac{x_{1}}{1} + \frac{x_{4}}{2} + ... + \frac{x_{k^{2}}}{k}) - 3 (\frac{x_{1}}{1^{2}} + \frac{x_{2}}{2^{2}} + ... + \frac{x_{k^{2}}}{k^{2}}) . \end{matrix}

x_{i}

értékeket úgy választottuk, hogy a különbség első tagja éppen 2 legyen. Felhasználva még, hogy

\begin{matrix} \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + ... + \frac{1}{k^{2}} < 1 + (1 - \frac{1}{2}) + ... + (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}) < 2, \end{matrix}

kapjuk, hogy

A > 2 - 6 {(1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{k})}^{- 1}

. Ez utóbbi érték pedig minden 2-nél kisebb számnál nagyobb lesz, ha

k

-t megfelelően választjuk, hiszen a természetes számok reciprokából képzett

1 + 1 / 2 + ... + 1 / k

összegek sorozata felülről nem korlátos.
A feladat szövege nem engedi meg, hogy az

x_{i}

számok között a 0 is előforduljon. Olvasóinkra bízzuk annak meggondolását, hogyan módosítható bizonyításunk, hogy ennek a többletkövetelménynek is eleget tegyen.