Kezdőlap


Feladat:	F.2314	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Alberti G. , Balázs Z. , Böröczky K. , Csere K. , Drávucz Katalin , Fekete Zs. , Halász P. , Hetyei G. , Hideg Sz. , Ittzés A. , Károlyi Gy. , Kerényi I. , Király Z. , Litkei F. , Magyar Á. , Magyar Cs. , Megyesi G. , Mihálykó Cs. , Mikó Teréz , Mohay T. , Nagy R. , Sigray I. , Szabó E. , Szállási Z. , Szijártó Z. , Törőcsik J. , Weisz F.
Füzet:	1982/január, 15. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Diofantikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/május: F.2314

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $x$ pozitív egész, akkor $3^{x}$ osztható 3-mal, $4^{y}$ pedig 3-mal osztva mindig 1 maradékot ad. Így $5^{z}$ -nek is hárommal osztva 1 maradékot kell adnia, ami azt jelenti, hogy $z$ páros, azaz $z = 2 t$ , ahol $t$ természetes szám.
A $3^{x} + 4^{y} = 5^{z} = 5^{2 t}$ összefüggést átrendezve

\begin{matrix} 3^{x} = 5^{2 t} - 2^{2 y} = (5^{t} - 2^{y}) (5^{t} + 2^{y}) . \end{matrix}

A jobb oldal mindkét tényezője egész szám, tehát mindkettőnek 3 nem‐negatív egész kitevős hatványának kell lennie. Ha

y = 0

volna, akkor

5^{t} - 2^{y} = 5^{t} - 1

osztható lenne 4-gyel, így nem lehetne

3^{x}

osztója. Megmutatjuk, hogy ha

y \geq 1

, akkor

5^{t} - 2^{y}

és

5^{t} + 2^{y}

relatív prímek. Mindkét szám páratlan, tehát legnagyobb közös osztójuk,

d

is az, viszont

d

osztja a különbségüket,

(5^{t} + 2^{Y}) - (5^{t} - 2^{Y}) = 2^{y + 1}

-et, ami csak úgy lehet, ha

d = 1

.
Két relatív prímszám szorzata csak akkor lehet

3^{x}

, ha közülük a kisebbik éppen 1, azaz

5^{t} - 2^{y} = 1

, és

5^{t} + 2^{y} = 3^{x}

.
Az

5^{t} - 1 = 2^{y}

alakból láthatjuk, hogy

t

nem lehet páros, mert ekkor a bal oldal osztható lenne

5^{2} - 1 = 24

-gyel, s így 3-mal. Ha viszont

t

páratlan, akkor

5^{t} - 5 = 5 (5^{t - 1} - 1)

osztható 24-gyel, ezért

\begin{matrix} 5^{t} - 1 = (5^{t} - 5) + 4 \end{matrix}

8-cal osztva 4 maradékot ad. Tehát csak az

5^{t} - 1 = 4

, vagyis

t = 1

z = 2 t = 2

y = 2

és

5^{t} + 2^{y} = 3^{x}

alapján

x = 2

lehetséges.
A hiányzó

x = 0

esetben az adott összefüggésünk így alakul:

5^{z} = 4^{y} + 1 = 2^{2 y} + 1

. Az előbb láttuk, hogy ennek nemnegatív egészekben egyetlen megoldása

y = z = 1

.
Így a feladat feltételeinek két nemnegatív egészből álló számhármas tesz eleget: (2, 2, 2), illetve (0, 1, 1).