Feladat: F.2314 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Alberti G. ,  Balázs Z. ,  Böröczky K. ,  Csere K. ,  Drávucz Katalin ,  Fekete Zs. ,  Halász P. ,  Hetyei G. ,  Hideg Sz. ,  Ittzés A. ,  Károlyi Gy. ,  Kerényi I. ,  Király Z. ,  Litkei F. ,  Magyar Á. ,  Magyar Cs. ,  Megyesi G. ,  Mihálykó Cs. ,  Mikó Teréz ,  Mohay T. ,  Nagy R. ,  Sigray I. ,  Szabó E. ,  Szállási Z. ,  Szijártó Z. ,  Törőcsik J. ,  Weisz F. 
Füzet: 1982/január, 15. oldal  PDF file
Témakör(ök): Diofantikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/május: F.2314

Keressük meg az összes olyan természetes számokból álló (x,y,z) számhármast, amire 3x+4y=5z.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha x pozitív egész, akkor 3x osztható 3-mal, 4y pedig 3-mal osztva mindig 1 maradékot ad. Így 5z-nek is hárommal osztva 1 maradékot kell adnia, ami azt jelenti, hogy z páros, azaz z=2t, ahol t természetes szám.
A 3x+4y=5z=52t összefüggést átrendezve

3x=52t-22y=(5t-2y)(5t+2y).
A jobb oldal mindkét tényezője egész szám, tehát mindkettőnek 3 nem‐negatív egész kitevős hatványának kell lennie. Ha y=0 volna, akkor 5t-2y=5t-1 osztható lenne 4-gyel, így nem lehetne 3x osztója. Megmutatjuk, hogy ha y1, akkor 5t-2y és 5t+2y relatív prímek. Mindkét szám páratlan, tehát legnagyobb közös osztójuk, d is az, viszont d osztja a különbségüket, (5t+2Y)-(5t-2Y)=2y+1-et, ami csak úgy lehet, ha d=1.
Két relatív prímszám szorzata csak akkor lehet 3x, ha közülük a kisebbik éppen 1, azaz 5t-2y=1, és 5t+2y=3x.
Az 5t-1=2y alakból láthatjuk, hogy t nem lehet páros, mert ekkor a bal oldal osztható lenne 52-1=24-gyel, s így 3-mal. Ha viszont t páratlan, akkor 5t-5=5(5t-1-1) osztható 24-gyel, ezért
5t-1=(5t-5)+4
8-cal osztva 4 maradékot ad. Tehát csak az 5t-1=4, vagyis t=1, z=2t=2, y=2 és 5t+2y=3x alapján x=2 lehetséges.
A hiányzó x=0 esetben az adott összefüggésünk így alakul: 5z=4y+1=22y+1. Az előbb láttuk, hogy ennek nemnegatív egészekben egyetlen megoldása y=z=1.
Így a feladat feltételeinek két nemnegatív egészből álló számhármas tesz eleget: (2, 2, 2), illetve (0, 1, 1).