Kezdőlap


Feladat:	F.2311	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Alberti G. , Balázs Z. , Benke I. , Bodó Zsuzsanna , Böröczky K. , Csere K. , Drávucz Katalin , Fekete Zs. , Hideg Sz. , Holbok I. , Jakab G. , Kerényi I. , Király Z. , Litkei F. , Mihálykó Cs. , Nagy R. , Szabó T. , Szöllősi Z.
Füzet:	1981/december, 200. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szinusztétel alkalmazása, Feladat, Trigonometriai azonosságok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/április: F.2311

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a $C A B$ szöget $φ$ -ve1. Felhasználva az ismert szögeket és azt, hogy a háromszög szögeinek összege 180 $°$ , az ábrán feltüntetett szögértékek adódnak.

Nyilvánvalóan teljesül az

\frac{A C}{C B} \cdot \frac{C B}{C D} = \frac{A C}{C D}

egyenlőség. A sinus-tétellel az

A B C

, a

B C D

és az

A C D

háromszögből rendre

\begin{matrix} \frac{A C}{C B} = \frac{sin 63^{\circ}}{sin φ}, \frac{C B}{D C} = \frac{sin (42, 5^{\circ} - φ)}{sin (6, 5^{\circ} + φ)}, \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{A C}{D C} = \frac{sin 87^{\circ}}{sin (79^{\circ} - φ)} . \end{matrix}

Ha ezeket a kifejezéseket az előző egyenlőségben felhasználjuk, a

\begin{matrix} sin 63^{\circ} \cdot sin (42, 5^{\circ} - φ) \cdot sin (79^{\circ} - φ) = sin 87^{\circ} \cdot sin φ \cdot sin (6, 5^{\circ} + φ) \end{matrix}

egyenlethez jutunk. Ebből a szögösszegtétel ismételt alkalmazásával, rendezéssel:

\begin{matrix} (sin 87^{\circ} cos 6, 5^{\circ} - sin 63^{\circ} cos 42, 5^{\circ} cos 79^{\circ}) sin^{2} φ + \\ + (sin 63^{\circ} sin 121, 5^{\circ} + sin 87^{\circ} sin 6, 5^{\circ}) sin φ cos φ - \\ - sin 63^{\circ} sin 42, 5^{\circ} sin 79^{\circ} cos^{2} φ = 0. \end{matrix}

Függvénytábla felhasználásával: 0,8669 tg

^{2} φ +

0,8728 tg

φ -

0,599 = 0. Megoldva ezt a másodfokú egyenletet, tg

φ_{1} =

0,4636, tg

φ_{2} = -

1,4703 adódik. Figyelembe véve, hogy

0^{\circ} < φ < 79^{\circ}

, az első gyökből

φ = 24^{\circ} 52'

(P. T.)