Feladat: F.2311 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Alberti G. ,  Balázs Z. ,  Benke I. ,  Bodó Zsuzsanna ,  Böröczky K. ,  Csere K. ,  Drávucz Katalin ,  Fekete Zs. ,  Hideg Sz. ,  Holbok I. ,  Jakab G. ,  Kerényi I. ,  Király Z. ,  Litkei F. ,  Mihálykó Cs. ,  Nagy R. ,  Szabó T. ,  Szöllősi Z. 
Füzet: 1981/december, 200. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szinusztétel alkalmazása, Feladat, Trigonometriai azonosságok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/április: F.2311

Az ABCD konvex négyszög egymás utáni szögei: α=79, β=63, γ=131, továbbá az AB oldal az átlók E metszéspontjából ε=123,5 alatt látszik. Számítsuk ki a CAB szöget.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a CAB szöget φ-ve1. Felhasználva az ismert szögeket és azt, hogy a háromszög szögeinek összege 180°, az ábrán feltüntetett szögértékek adódnak.


 

Nyilvánvalóan teljesül az ACCBCBCD=ACCD egyenlőség. A sinus-tétellel az ABC, a BCD és az ACD háromszögből rendre
ACCB=sin63sinφ,CBDC=sin(42,5-φ)sin(6,5+φ),
ACDC=sin87sin(79-φ).
Ha ezeket a kifejezéseket az előző egyenlőségben felhasználjuk, a
sin63sin(42,5-φ)sin(79-φ)=sin87sinφsin(6,5+φ)
egyenlethez jutunk. Ebből a szögösszegtétel ismételt alkalmazásával, rendezéssel:
(sin87cos6,5-sin63cos42,5cos79)sin2φ++(sin63sin121,5+sin87sin6,5)sinφcosφ--sin63sin42,5sin79cos2φ=0.



Függvénytábla felhasználásával: 0,8669 tg2φ+ 0,8728 tg φ-0,599 = 0. Megoldva ezt a másodfokú egyenletet, tg φ1= 0,4636, tg φ2=- 1,4703 adódik. Figyelembe véve, hogy 0<φ<79, az első gyökből φ=2452'.
 

(P. T.)