Kezdőlap


Feladat:	F.2308	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ákosfai Z. , Alberti G. , Balázs Z. , Böröczky K. , Csere K. , Drávucz Katalin , Fekete Zs. , Feledi Gy. , Fonyó L. , Gulyás Gy. , Hatt J. , Heckenast L. , Hetyei G. , Holbok I. , Ittzés A. , Károlyi Gy. , Kató G. , Katona Gy. , Kerényi I. , Király Z. , Komorowicz J. , Litkei F. , Magyar Á. , Magyar Cs. , Megyesi G. , Mihálykó Cs. , Mikó Teréz , Mohay T. , Nagy R. , Papp G. , Pöltl J. T. , Simek R. , Somogyi H. , Szabó T. , Szállási Z. , Tranta Beáta , Törőcsik J.
Füzet:	1981/december, 198 - 199. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat, Paraméteres egyenletek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/április: F.2308

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $f (x) = a x^{3} + x^{2} - 4$ polinomnak a $0 < x < 2$ nyílt intervallumban pontosan egy gyöke van, hiszen $a > 0$ miatt $f (0) < 0 < f (2)$ , és $f$ ebben az intervallumban szigorúan monoton növekedő. Jelöljük ezt a gyököt $α$ -val, ekkor $a = (4 - α^{2}) / α^{3}$ . A $2 - a r ≦ α$ egyenlőtlenség pontosan akkor áll fenn, ha $(2 - α) / a ≦ r$ , azaz $α \neq 2$ miatt, ha

\begin{matrix} g (α) = \frac{α^{3}}{2 + α} ≦ r . \end{matrix}

A minimális

r

-et tehát úgy kaphatjuk meg, mint mindazoknak a

g (α)

függvényértékeknek a legkisebb felső korlátját, melyekre

0 < α < 2

. (Ezekre az értékekre ugyanis

a = (4 - α^{2}) / α^{3}

is pozitív.)
Ha

0 < u < v

, akkor

\begin{matrix} g (v) - g (u) = \frac{v^{3}}{2 + v} - \frac{u^{3}}{2 + u} = \frac{2 (v^{3} - u^{3}) + u v (v^{2} - u^{2})}{(2 + v) (2 + u)} > 0, \end{matrix}

így a

g

függvény szigorúan monoton nő, és

g

folytonossága alapján a keresett érték

g (2) = 2

. Tehát a feltételeknek megfelelő minimális

r

értéke 2.

Drávucz Katalin (Szolnok, Verseghy F. Gimn., III. o. t.)