Feladat: F.2308 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ákosfai Z. ,  Alberti G. ,  Balázs Z. ,  Böröczky K. ,  Csere K. ,  Drávucz Katalin ,  Fekete Zs. ,  Feledi Gy. ,  Fonyó L. ,  Gulyás Gy. ,  Hatt J. ,  Heckenast L. ,  Hetyei G. ,  Holbok I. ,  Ittzés A. ,  Károlyi Gy. ,  Kató G. ,  Katona Gy. ,  Kerényi I. ,  Király Z. ,  Komorowicz J. ,  Litkei F. ,  Magyar Á. ,  Magyar Cs. ,  Megyesi G. ,  Mihálykó Cs. ,  Mikó Teréz ,  Mohay T. ,  Nagy R. ,  Papp G. ,  Pöltl J. T. ,  Simek R. ,  Somogyi H. ,  Szabó T. ,  Szállási Z. ,  Tranta Beáta ,  Törőcsik J. 
Füzet: 1981/december, 198 - 199. oldal  PDF file
Témakör(ök): Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat, Paraméteres egyenletek
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/április: F.2308

Keressük meg azt a legkisebb pozitív r számot, melyre igaz a következő állítás. Minden pozitív a-ra van olyan 2-arx2, hogy ax3+x2-4=0.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az f(x)=ax3+x2-4 polinomnak a 0<x<2 nyílt intervallumban pontosan egy gyöke van, hiszen a>0 miatt f(0)<0<f(2), és f ebben az intervallumban szigorúan monoton növekedő. Jelöljük ezt a gyököt α-val, ekkor a=(4-α2)/α3. A 2-arα egyenlőtlenség pontosan akkor áll fenn, ha (2-α)/ar, azaz α2 miatt, ha

g(α)=α32+αr.
A minimális r-et tehát úgy kaphatjuk meg, mint mindazoknak a g(α) függvényértékeknek a legkisebb felső korlátját, melyekre 0<α<2. (Ezekre az értékekre ugyanis a=(4-α2)/α3 is pozitív.)
Ha 0<u<v, akkor
g(v)-g(u)=v32+v-u32+u=2(v3-u3)+uv(v2-u2)(2+v)(2+u)>0,
így a g függvény szigorúan monoton nő, és g folytonossága alapján a keresett érték g(2)=2. Tehát a feltételeknek megfelelő minimális r értéke 2.
 
 Drávucz Katalin (Szolnok, Verseghy F. Gimn., III. o. t.)