Kezdőlap


Feladat:	F.2304	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Megyesi Gábor
Füzet:	1981/november, 131 - 132. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Sorozat határértéke, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/március: F.2304

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Két esetet különböztetünk meg aszerint, hogy $A = 1$ vagy pedig $0, 1 \leq A < 1$ . Az első esetben tekintsük a sorozatnak a $10^{k} - 1$ indexű tagjait $(k = 1,2, ...)$ . Állítjuk, hogy az így kapott részsorozat határértéke éppen $1$ . Valóban, $k - 1 < lg (10^{k} - 1) < k$ alapján

\begin{matrix} b_{k} = a_{10^{k} - 1} = \frac{10^{k} - 1}{10^{k}} = 1 - \frac{1}{10^{k}} . \end{matrix}

Mivel

{lim}_{k \to \infty}^{} \frac{1}{10^{k}} = 0

, azért

{lim}_{k \to \infty}^{} b_{k} = 1

, ahogyan állítottuk.
A másik esetben legyen

i_{k} = [10^{k} A] (k = 1,2, ...)

. A

0, 1 \leq A < 1

feltétel miatt

10^{k - 1} \leq i_{k} < 10^{k}

, tehát

[lg i_{k}] + 1 = k

. Így

\begin{matrix} c_{k} = a_{i_{k}} = \frac{[10^{k} A]}{10^{k}} = A - \frac{10^{k} A - [10^{k} A]}{10^{k}}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} A - \frac{1}{10^{k}} < c_{k} \leq A, \end{matrix}

hiszen

0 \leq x - [x] < 1

minden

x

számra. De

{lim}_{k \to \infty}^{} \frac{1}{10^{k}} = 0

, azért a "rendőrszabály'' értelmében

\begin{matrix} {lim}_{k \to \infty}^{} c_{k} = {lim}_{k \to \infty}^{} a_{i_{k}} = A . \end{matrix}

Mivel minden

A

-hoz találtunk megfelelő részsorozatot, a feladat állítását bebizonyítottuk.

Megyesi Gábor (Szeged, Juhász Gyula Tanárképző Főiskola Gyakorló Iskolája, 8. o. t.)

Megjegyzés. Ha az

n

szám tízes számrendszerbeli alakja éppen

α_{1} α_{2} ... α_{k} (α_{1} \neq 0)

, akkor, mint az könnyen látható,

a_{n} = 0, α_{1} α_{2} ... α_{k}

. Így az

{a_{n}}

sorozatban minden olyan véges tizedestört szerepel, amelynek

t

értékére

0, 1 \leq t < 1

. A feladat állítása azt mondja ki, hogy az ilyen számok határértékeként minden

0, 1 \leq A < 1

valós szám előáll. Tegyük fel, hogy

A \neq 1

, és írjuk fel

A

-t (végtelen) tizedestört alakban (ha

A

tizedestört alakja véges volna, írjunk utána

0

-kat):

\begin{matrix} A = 0, α_{1} α_{2} α_{3} ... α_{k} ...; és legyen & (*) \\ c_{k} = 0, α_{1} α_{2} ... α_{k} (k = 1,2, ...) . \end{matrix}

Ha tudnánk, hogy a

{c_{k}}

sorozat határértéke

A

, akkor készen volnánk, hiszen

{c_{n}}

{a_{n}}

sorozat egy részsorozata. De egy végtelen tizedestört értéke definíció szerint szeleteinek határértéke, és így

{lim}_{k \to \infty}^{} c_{k} = A

. A probléma nem az, hogy a

c_{k}

sorozat konvergens-e, és ha igen, mi a határértéke, hanem az az első pillanatban meghökkentő kérdés: miért létezik

A

-nak egyáltalán (végtelen) tizedestört alakja?
Ennek az alaknak a létezését (és egyértelműségét) a középiskolákban általában bizonyítás nélkül elfogadják (és elfogadjuk mi is). Olvasóinknak melegen ajánljuk, töprengjenek el ennek bizonyításán, mit használnak fel a bizonyítás során a valós számok tulajdonságai közül, s meg tudják-e pontosan fogalmazni, mik is azok a valós számok?