A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Mely háromszögekre érvényes az alábbi egyenlőtlenség, amelyben az háromszög súlypontja és a köréje írt kör sugara: I. megoldás. Előzetes tájékozódásul tüstént látni, hogy szabályos háromszögre érvényes az állítás, a bal oldal mindegyik tagja . ‐ Ezzel szemben semmilyen derékszögű háromszögre nem érvényes, mert áttérve az , , súlyvonalakra, ezek négyzetei is derékszögű háromszögekből fejezhetők ki és (1) bal oldala | | és ez egyenlő a jobb oldallal, hiszen itt . ‐ Továbbá ‐ mivel rögzített körbe olyan háromszögek is beírhatók, melyeknek mindegyik oldala kisebb, mint a sugár, és a súlyvonal mindig kisebb, mint a háromszög legnagyobb oldala, másfelől minden ilyen háromszög tompaszögű, mert nem tartalmazza a kör középpontját ‐ az a sejtésünk támad, hogy tompaszögű háromszögekre sem érvényes az (1) egyenlőtlenség. Megmutatjuk, hogy (1) akkor és csak akkor érvényes, ha a háromszög hegyesszögű. Ismeretes, hogy a súlyvonalak kifejezhetők az oldalakkal, pl. | | Ezekkel a bal oldal igy alakul: | | () | mindjárt felhasználtuk az oldalak kifejezését a sugárral és a megfelelő szöggel. Így az (1)-gyel ekvivalens kérdésre jutottunk, és ez ismét a következőkkel ekvivalens: mely háromszögekben teljesül A jobb oldalon két tényező helyére kissé bonyolultabb kifejezést írunk ‐ az első ilyen ‐, de az addíciós tételek alapján végül egyszerűbbet, szorzatot kapunk:
mert . Eszerint (2) és vele (1) akkor és csakis akkor teljesül, ha És ez bizonyítja állításunkat, ugyanis egyrészt hegyesszögű háromszögben mindhárom szög cosinusa pozitív, másrészt nem pozitív a szorzat, ha van a háromszögben derékszög, mert akkor valamelyik tényező 0, és akkor sem, ha van tompaszög, mert ilyenből csak egy lehet, s emiatt pedig egy tényezője révén negatív lenne a szorzat. ‐ Ezzel bebizonyítottuk állításunkat. A választ megadtuk. II. megoldás. Az előző megoldás kifejezéséből így is haladhatunk tovább: | | ahol a nevező nyilvánvalóan pozitív. Eszerint a kérdéses háromszögekben a bal és jobb oldal különbségére teljesülnie kell:
tehát ismét a fönti követelményre jutottunk. III. megoldás. Jelöljük tetszőlegesen választott koordináta-rendszerben a háromszög csúcsainak koordinátáit ; -vel, ; -vel, ; -vel, egy tetszőleges pont koordinátáit -nal, és -nek a csúcsoktól mért távolságainak a négyzetösszegét -vel. Akkor
ahol: | |
Az ; koordinátájú pont a háromszög súlypontja, és . Ha most helyére -et írunk, kapjuk, hogy , így általában Ha itt helyére a háromszög köré írt körének a középpontját írjuk, kapjuk, hogy A kapott összefüggés szerint (1) ekvivalens a egyenlőtlenséggel. Ismeretes, hogy a szakasz -hoz közelebbi harmadolópontja (amit könnyű a szó segítségével megjegyezni, melyben a , , betűk helyzete megfelel a velük jelölt pontok helyzetének, sőt a Feuerbach-kör középpontjának felel meg). Tehát , így (1) azzal ekvivalens, hogy a háromszög magasságpontja a háromszög köré írt kör belsejében van, vagyis a háromszög hegyesszögű. Megjegyzés. Legyen általában | | ahol , , tetszés szerinti számok, amelyekre . A megoldásban alkalmazott meggondolást követve belátható, hogy ahol koordinátái és . Tehát a függvény "szintvonalai'' koncentrikus körök, vagyis kör azoknak a pontoknak a mértani helye, ahol értéke egy előre adott állandóval egyenlő, feltéve, hogy ez az állandó nem túl kicsi, és e körök középpontja minden állandóra ugyanaz. A függvény a minimumát abban a pontban veszi fel, mely a háromszög csúcsainak a , , súlyokhoz tartozó súlypontja (a súlyok negatívak is lehetnek). Érdemes eltöprengeni azon, milyen (természetesen a háromszög meghatározó adataitól függő) súlyok mellett kapjuk súlypontul a különböző nevezetes pontokat. Ezek alapján a most levezetett összefüggés segítségével olyan állításokat kaphatunk, amelyeket más módszerrel csak nehézkesen, hosszas számolással láthatnánk be.
|