Kezdőlap


Feladat:	F.2298	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1981/november, 123. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb szinezési problémák, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/február: F.2298

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Válasszuk a számegyenes origójának az $A B$ szakasz felezőpontját, egységnek az $A B$ szakasz hosszának felét, a számegyenes irányának az $A$ -ból $B$ felé mutató irányt. Jelöljük a kék pontokhoz tartozó számokat $k_{1}$ -gyel, $k_{2}$ -vel, $...$ , $k_{n}$ -nel, a pirosakhoz tartozókat pedig $p_{1}$ -gyel, $p_{2}$ -vel, $...$ , $p_{n}$ -nel. A számegyenes választása miatt $A$ -hoz $(- 1)$ , $B$ -hez $(+ 1)$ tartozik, és az $i$ -edik kék pont $A$ -tól mért távolsága $(k_{i} + 1)$ , az $i$ -edik piros $B$ -től mért távolsága pedig $(1 - p_{i})$ . E távolságok összege rendre

\begin{matrix} K = \sum_{i = 1}^{n} (k_{i} + 1), P = \sum_{i = 1}^{n} (1 - p_{i}), \end{matrix}

és a két összeg különbsége

\begin{matrix} K - P = \sum_{i = 1}^{n} k_{i} + \sum_{i = 1}^{n} p_{i} . \end{matrix}

Ez a különbség tehát a pontokhoz tartozó

2 n

szám összege. Így a

(K - P)

különbség a pontok színezésétől függetlenül

0

-val egyenlő, hiszen a számok közt minden

x

számmal együtt annak az origóra vonatkozó

- x

tükörképe is megtalálható (mégpedig pontosan annyiszor, ahány

x

van a számok között). Tehát a két összeg valóban egyenlő.

Megjegyzés. Volt, aki azt hitte, csak úgy színezhetjük a pontokat, hogy a szimmetrikus párok különböző színűek legyenek. Ekkor a szóban forgó két összeg tagról tagra megegyezik. Belátható az állítás ebből kiindulva is, ha észrevesszük, hogy az egyszínű szimmetrikus párok közt ugyanannyi kék van, mint piros, és a hozzájuk tartozó összeg független a pontok helyzetétől. Valóban, ha például

x

és

- x

kék, akkor ehhez a két kék ponthoz tartozó összeg

(x + 1) + (- x + 1) = 2