Kezdőlap


Feladat:	F.2297	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ákosfai Z. , Böröczky K. , Csere K. , Dósa Gy. , Heckenast L. , Hetyei G. , Károlyi Gy. , Magyar Á. , Magyar Cs. , Megyesi K. , Mihálykó Cs. , Nagy R. , Simák R. , Simonyi G. , Szabó T. , Szállási Z. , Tranta Beáta , Törőcsik J.
Füzet:	1981/november, 122. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Feladat, Trigonometriai azonosságok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/február: F.2297

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív egész $n$ -re

\begin{matrix} \frac{| sin n |}{n} + \frac{| sin (n + 1) |}{n + 1} + ... + \frac{| sin 2 n |}{2 n} > \frac{1}{6} . \end{matrix}

(1)

(A szinusz függvény argumentumát radiánokban mérjük.)

Megoldás. Először megmutatjuk, hogy

\begin{matrix} | sin α | + | sin (α + 1) | \geq sin 1 \end{matrix}

(2)

minden

α

-ra. Valóban, ha

sin α

és

sin (α + 1)

egyező előjelű, akkor

(2)

bal oldala

\begin{matrix} | sin α + sin (α + 1) | = 2 | sin (α + \frac{1}{2}) | cos \frac{1}{2} \geq 2 sin \frac{1}{2} cos \frac{1}{2}, \end{matrix}

hiszen valamilyen

k

egészre

α

és

α + 1

is a

[k π, (k + 1) π]

zárt intervallumba esik. Ha pedig

sin α

és

sin (α + 1)

különböző előjelű, akkor

(2)

bal oldalán

\begin{matrix} | sin (α + 1) - sin α | = 2 sin \frac{1}{2} | cos (α + \frac{1}{2}) | \geq 2 sin \frac{1}{2} cos \frac{1}{2}, \end{matrix}

hiszen ekkor

k π - 1 \leq α \leq k π

valamilyen

k

egészre.
Az

(1)

egyenlőtlenség bal oldalát csökkentjük, ha a nevezőkben mindenütt

2 n

-et írunk, s mivel

(n + 1)

összeadandó szerepel, azért a közös nevezőre hozás után a számlálót

[\frac{n + 1}{2}] \geq \frac{n}{2}

darab

(2)

típusú részletösszegre tudjuk bontani. Ezek alapján

(1)

bal oldala nagyobb, mint

\begin{matrix} \frac{1}{2 n} \cdot \frac{n}{2} \cdot sin 1 = \frac{sin 1}{4} > \frac{1}{4} sin \frac{π}{4} = \frac{1}{4 \sqrt[]{2}} > \frac{1}{6}, \end{matrix}

és ezt akartuk belátni.