Kezdőlap


Feladat:	F.2296	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Megyesi Gábor
Füzet:	1981/október, 66. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Sakktáblával kapcsolatos feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/február: F.2296

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A sakktábla sorait és oszlopait közös szóval vonalnak nevezve a következőket állapíthatjuk meg:
1. Legfeljebb két bástya lehet egy vonalban;
2. két egymást ütő bástya a táblának $3$ vonalát ,,foglalja le'' abban az értelemben, hogy erre a három vonalra a feltétel szerint újabb bástya nem helyezhető;
3. ha egy bástyát nem üt egyetlen másik sem, az két vonalat fog le.
Így ha a bástyapárok számát $P$ -vel, a ,,magányos'' bástyák számát $M$ -mel jelöljük, akkor $3 P + 2 M ≦ 16$ , hiszen a sakktáblán összesen $16$ vonal van. A táblára felhelyezhető bástyák száma tehát

\begin{matrix} 2 P + M ≦ 2 P + \frac{4}{3} M = \frac{2}{3} (3 P + 2 M) ≦ \frac{2}{3} \cdot 16 < 11, \end{matrix}

azaz legfeljebb tíz, s tízet valóban el tudunk helyezni. Egy lehetséges elrendezés látható az ábrán.

\begin{matrix} \times \\ \times \\ \times & \times \\ \times \\ \times \\ \times & \times \\ \times \\ \times \end{matrix}

Megyesi Gábor (Szeged, Juhász Gy. Tanárképző Főisk. 1. sz. Gyak. Ált. Isk., 8. o. t.)

Megjegyzések. 1. Gondolatmenetünk általánosítható

n \times n

-es sakktábla esetére. Ennek

2 n

vonalára legfeljebb

[4 n / 3]

bástyát rakhatunk fel a kívánt módon. Ennyit valóban elhelyezhetünk például a következő módszerrel:

n = 1

esetben egyetlen bástyát tehetünk le;

n = 2

esetben kettőt bármely két mezőbe.

n ≧ 3

esetén tegyünk egy-egy bástyapárt az első oszlopba és a harmadik sorba. Az ezek által lefoglalt

6

vonal

(n - 3) \times (n - 3)

-asra csökkenti táblánkat. Ezen folytassuk az eljárást ugyanígy.
2. Többen hivatkoztak a Matematikai Versenyfeladatok 1973‐74. műre, melynek 57. oldalán található a feladat egy megoldása.