Feladat: F.2296 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Megyesi Gábor 
Füzet: 1981/október, 66. oldal  PDF file
Témakör(ök): Sakktáblával kapcsolatos feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/február: F.2296

Legfeljebb hány bástyát lehet egy 8×8-as sakktáblára feltenni úgy, hogy mindegyiket legfeljebb 1 másik üsse?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A sakktábla sorait és oszlopait közös szóval vonalnak nevezve a következőket állapíthatjuk meg:
1. Legfeljebb két bástya lehet egy vonalban;
2. két egymást ütő bástya a táblának 3 vonalát ,,foglalja le'' abban az értelemben, hogy erre a három vonalra a feltétel szerint újabb bástya nem helyezhető;
3. ha egy bástyát nem üt egyetlen másik sem, az két vonalat fog le.
Így ha a bástyapárok számát P-vel, a ,,magányos'' bástyák számát M-mel jelöljük, akkor 3P+2M16, hiszen a sakktáblán összesen 16 vonal van. A táblára felhelyezhető bástyák száma tehát

2P+M2P+43M=23(3P+2M)2316<11,
azaz legfeljebb tíz, s tízet valóban el tudunk helyezni. Egy lehetséges elrendezés látható az ábrán.
××××××××××

 

 Megyesi Gábor (Szeged, Juhász Gy. Tanárképző Főisk. 1. sz. Gyak. Ált. Isk., 8. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. Gondolatmenetünk általánosítható n×n-es sakktábla esetére. Ennek 2n vonalára legfeljebb [4n/3] bástyát rakhatunk fel a kívánt módon. Ennyit valóban elhelyezhetünk például a következő módszerrel:
n=1 esetben egyetlen bástyát tehetünk le; n=2 esetben kettőt bármely két mezőbe.
n3 esetén tegyünk egy-egy bástyapárt az első oszlopba és a harmadik sorba. Az ezek által lefoglalt 6 vonal (n-3)×(n-3)-asra csökkenti táblánkat. Ezen folytassuk az eljárást ugyanígy.
2. Többen hivatkoztak a Matematikai Versenyfeladatok 1973‐74. műre, melynek 57. oldalán található a feladat egy megoldása.