A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ellentmondásra jutunk annak föltételezéséből, hogy az , , átlók mindegyike nagyobb -nél. Legyen , és rajzoljuk meg körül az egységnyi sugarú kört. Az -val szomszédos csúcsok benne vannak -ban vagy éppen a kerületén, emiatt a szakasz -ből vett látószöge nem lehet nagyobb, mint a -ből -hoz húzott érintők közti szög, ahol az érintési pontok.
1. ábra Belátjuk, hogy Fordítsuk el az háromszöget körül úgy, hogy essék egybe -vel, és legyen ekkor új helyzete . Az háromszögben és , ezért a háromszög -nél levő szöge kisebb a másik kettőnél, amelyek egyenlők, tehát kisebb -nál. Ámde | | állításunkat ezzel igazoltuk. Ha mármost egyidejűen , és mindegyike nagyobb volna, mint ‐ vagyis mint konvex hatszögünk akármelyik oldalának a 2-szerese ‐, akkor meggondolásunkban szerepét sorra -nek, -nek átadva ‐ egyidejűen szerepét a szemben levő csúcsnak ‐, azt kapnánk, hogy a háromszög szögeinek összege kisebb -nál, hiszen külön-külön mindegyik kisebb, mint
2. ábra Ez az ellentmondás mutatja a feladat állításának helyességét. Hetyei Gábor (Pécs, Leőwey K. Gimn., II. o. t.)
Megjegyzések. 1. Tetszetős ötlet a 3. ábra szerinti hatszög minden második oldalát meghosszabbítani, és így egy háromszögbe belefoglalni az idomot, számos dolgozat ebből indult ki.
3. ábra Kiválasztva a háromszög legkisebb szögét ‐ vagy az ilyenek egyikét, ha több van, az ábrán ilyen ‐, erre . Ekkor az szög mindkét szárára rátámaszkodó átló nem hosszabb, mint egység. Tükrözzük -et az szakasz felezőpontjára, legyen a képe . Így egyrészt az négyszög paralelogramma, másrészt tehát , illetve az -val szemben levő oldalnál van nagyobb az és oldalak közt, ti. az, amelyikkel szemben -nál nagyobb szög van ; esetleg . Eszerint , ennélfogva a háromszögből . Egyenlőség előfordulhat, ha a háromszög elfajult, és egyidejűen a hatszög felhasznált két oldala éppen -gyel egyenlő. ‐ Ezzel a feladat állítását az ábrán fölvett hatszögre bebizonyítottuk. Könnyen kiegészítheti az olvasó a fentieket az olyan hatszögek vizsgálatával, amelyekben sem a 3. ábrabeli meghosszabbítások révén nem keletkezik befoglaló háromszög, sem a , , oldalhármas használatával. Ha ugyanis pl. az félegyenes irányát a félegyenes irányába átvivő forgás (a irányán át gondoljuk) szöge éppen vagy több is annál, akkor a fenti háromszög oldalegyenese párhuzamos, vagy pedig az oldalával kívülről támaszkodik a hatszög a létrejövő háromszög egyik oldalához. És egyidejűleg az is fennállhat, hogy a félegyenest a irányába legalább -nyi elfordulás viszi át (4. ábra). ‐ Ebből a két "sikertelenségből'' levont következtetésekkel lehet bizonyítani az állítást a szóban forgó átlók valamelyikére. (Vagyis "megfoltozni'' az eddig hiányos bizonyítást.)
4. ábra 2. Versenybizottságokban gyakran elhangzik ilyen bírálat: nem teljes, de könnyen kiegészíthető teljessé. Ezt a keveset azonban ‐ amilyenre példa az előbbi megjegyzés ‐ csak akkor toldják hozzá a versenyző munkájához, ha van nyoma annak, hogy érezte az illető: valami még hátra van. Más szóval, ha nem tekintette befejezettnek a bizonyítást abban a hiányos állapotban. 3. Még egy tanulság a 3. ábrához: ne csak egy ábrát rajzoljunk, és ne csak alig-alig eltérőt valami szabályostól, mert az ilyesmi nem szerénység, hanem szűklátókörűség! |