Feladat: F.2280 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1981/április, 155. oldal  PDF file
Témakör(ök): Logikai feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/november: F.2280

Egy 10 emeletes házban egyszer a lift a földszintről indult. Útja során csak egész emeleten állt meg, mégpedig minden emeleten pontosan egyszer. Közben legfeljebb hány méter utat tett meg, ha két szomszédos szint közti különbség 4 méter ?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tegyük föl, hogy a lift a feladat feltételei szerint mozgott, és s méternyi utat tett meg. Jelölje ni azt, hogy a lift mozgása során hányszor tette meg az (i-1)-edik és i-edik szint közötti útszakaszt (i=1,2,...,10, a 0-dik szint a földszint). Az egyes felfelé menetek kezdő és végpontjai különbözőek voltak, így az (i-1)-edik és az i-edik szint közötti útszakaszt felfelé a lift legfeljebb min. (i,10-(i-1)) alkalommal tehette meg. Figyelembe véve, hogy lefelé haladva a lift a 0-dik szintre nem érkezhetett, ugyanezt az útszakaszt a lift lefelé haladva a végpontok különbözősége miatt legfeljebb min. (i-1,10-(i-1)) alkalommal tehette meg. Mivel i5 esetén min (i,10-(i-1))=i és min (i-1,10-(i-1))=i-1, továbbá i>5 esetén min. (i,10-(i-1))=min(i-1,10-(i-1))=10-(i-1), tehát az első esetben ni2i-1, a második esetben ni2(11-i). Emiatt

S=4(n1+...+n10)4(1+3+5+7+9+10+8+6+4+2)=220.
Tehát a lift legfeljebb 220 méternyi utat tett meg. Ennyi utat meg is tett, ha mozgása során például a szinteken a következő sorrendben állt meg: 0; 10; 1; 9; 2; 8; 3; 7; 4; 6; 5.
 
II. megoldás. Tegyük föl, hogy a lift úgy mozgott, hogy maximális utat tett meg. Ekkor minden megállás után irányt változtatott. Ha ugyanis az i-edik, j-edik szintekre egymás után, irányváltoztatás nélkül érkezett volna, akkor az i-edik szinten való megállást kihagyva, majd az út befejezése után ide visszatérve, az így módosított út hosszabb, mint a lift által megtett út, amiről pedig feltettük, hogy maximális.
Jelölje mi az i-edik megállás szintjét, i=1,2,...,10. A lift által megtett út
m1+(m1-m2)+(m3-m2)+(m3-m4)+...+(m9-m10)==2[(m1+m3+m5+m7+m9)-(m2+m4+...+m8)]-m10.


Látható, hogy a megtett út akkor maximális, ha a fenti összegben a 10, 9, 8, 7, 6 szintek pozitív, a megmaradó szintek negatív előjellel szerepelnek. Mivel a kivonandók közül m10 együtthatója a legkisebb, ezért m10=5, vagyis a lift végül az 5-dik szinten állt meg. A további mi értékek ‐ a fenti megszorítás mellett ‐ tetszőlegesek lehetnek. A fenti megszorításnak eleget tevő mi értékekhez tartozó maximális úthossz 220 m.
 
Megjegyzések. 1. Mindkét megoldásból nyilvánvaló, hogy a lift nemcsak egyetlen módon teheti meg a maximális 220 m-t. Az ilyen utak száma 5!4!=2880.
2. A feladat könnyen általánosítható n emeletes házra. Ekkor a lift maximálisan 2n(n+1) méternyi utat tesz meg. (R. ZS).